Задача 11.

1. а) Знайти скалярний добуток колінеарних векторів і протилежно напрямлених векторів , якщо .

б) Дано: . Знайти .

в) Точка - центр мас . Довести, що .

2. а) Вектори ортогональні; вектор утворює з ними кути, які дорівнюють . Обчислити , якщо відомо .

б) Вектор , перпендикулярний до осі і до вектора , утворює гострий кут з віссю . Знайти його координати, якщо відомо, що .

в) Перевірити, що точки є вершинами трапеції.

3. а) Знайти модуль вектора , де - одиничні вектори, кут між якими дорівнює .

б) Вектор , перпендикулярний до векторів , утворює з віссю тупий кут. Знайти його координати, якщо .

в) Вектори співпадають зі сторонами . Визначити координати векторів, приложених до вершин трикутника і співпадаючих з його медіанами .

4. а) Обчислити довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах , якщо відомо, що .

б) Дано вершини трикутника: . Обчислити довжину його висоти, проведеної з вершини на сторону .

в) Два вектори приложені до однієї точки. Визначити координати вектора , напрямленого за бісектрисою кута між векторами , при умові, що .

5. а) Довести, що вектор ортогональний вектору .

б) З’ясувати, компланарні чи вектори , якщо: .

в) Перевірити, що трикутник з вершинами - прямокутний.

6. а) Який кут утворюють одиничні вектори , якщо відомо, що вектори взаємно перпендикулярні?

б) Довести, що точки лежать в одній площині.

в) Дано паралелепіпед . Вкажіть вектор, що дорівнює сумі .

7. а) Вектори утворюють трикутник: , де взаємно перпендикулярні орти. Визначити кути трикутника.

б) З’ясувати, компланарні чи вектори , якщо: .

в) Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , де - одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

8. а) Дано вектори: . Знайти .

б) Точки - середини паралельних сторін трапеції . Точка не належить площині . Виразіть вектор через вектори .

в) Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах: , , де - взаємно перпендикулярні орти.

9. а) Показати, що чотирьохкутник з вершинами є квадрат.

б) Відомо дві сторони трикутника . Обчислити довжину його висоту при умові, що - взаємно перпендикулярні орти.

в) Дано тетраедр - внутрішня точка ребра . Виразіть вектор через вектори .

10. а) Дано вершини трикутника . Знайти його кути.

б) Визначити, при якому значенні вектори будуть колінеарними, якщо не колінеарні.

в) Дано паралелепіпед . Виразіть вектор через вектори , якщо - точка перетину відрізків .

11. а) Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах .

б) Дано вектори . Знайти вектор , який перпендикулярний до векторів і має довжину , утворює з віссю тупий кут.

в) Кінці відрізка . Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини .

12. а) Дано вектори: . Знайти вектор , який задовольняє умовам: .

б) Дано вектор , де - взаємно перпендикулярні орти, які утворюють праву трійку. Обчислити його довжину.

в) При яких значеннях вектори колінеарні?

13. а) Обчислити скалярний добуток , якщо , де - одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

б) Точка - середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі і в площині . Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.

в) Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах: , де .

14. а) Дано: . Обчислити .

б) Обчислити висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах: , якщо за основу взято паралелограм, побудований на . Крім того, відомо, що - взаємно перпендикулярні орти.

в) Дано куб . Обчисліть між векторами , де - середина ребра .

15. а) Вектори утворюють кут і . Визначити .

б) Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах: .

в) Кінці відрізка . Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини .

16. а) З’ясувати, за яких значень вектори колінеарні.

б) Відомо, що . Визначити при якому значенні вектори ортогональні.

в) Обчислити , де і одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

17. а) Дано вектори: .Знайти координати вектора у базисі векторів .

б) Спростити вираз , якщо , де .

в) Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах: , де одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

18. а) Вектор , колінеарний вектору , утворює гострий кут з віссю . Знайти його координати, якщо відомо .

б) Вектори зв’язані співвідношеннями . Довести, що вектори колінеарні.

в) - середини ребер куба , ребро якого дорівнює . Знайдіть довжину .

19. а) Дано вектори: . Визначити розклад вектора в базисі .

б) Знайти вектор , якщо відомо, що він перпендикулярний векторам і задовольняє умові .

в) Дано куб . Обчисліть між векторами , де - середина ребра .

20. а) Одиничні вектори задовольняють умові . Знайти .

б) Дано вектори: . Обчислити .

в) Відрізки взаємно перпендикулярні. - середина . Знайдіть довжину , якщо .

21. а) Дано вектори: . Знайти .

б) Знайти вектор , якщо відомо, що він перпендикулярний векторам і задовольняє умові .

в) Точка - середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі і в площині . Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.

22. а) Дано точки: . Обчислити .

б) Вектори утворюють кут . Відомо, що . Знайти .

в) Знайдіть кут між стороною і медіаною трикутника , якщо .

23. а) Дано вектори: . Знайти вектор при умові, що він перпендикулярний до осі й задовольняє умовам: .

б) Вектори задовольняють умові . Довести, що .

в) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками поділено на три рівні частини.

24. а) Вектори і колінеарні. Знайти вектор , який задовольняє умові .

б) Вектори ортогональні. Відомо, що . Знайти .

в) Точки - вершини паралелограма . Знайдіть координати вершини .

25. а) З’ясувати, за яких значень вектори ортогональні.

б) Дано: . Знайти .

в) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками поділено на три рівні частини.