4.6.1. Моделирование случайной величины имеющей равномерный закон распределения. Случайная величина имеет равномерный закон распределения на , если она имеет плотность распределения вида
,
и функцию распределения вида
.
Введем обозначение - семейство случайных величин равномерно распределенных на .
Теорема 2.Если и , то .
Доказательство. По определению функции распределения
Так как
Тогда . Теорема доказана.
Следствие.Если последовательность чисел является выборкой случайной величины , то последовательность , где является выборкой значений случайной величины .
4.6.2. Метод обратной функции. Предположим, что случайная величина определена в интервале и имеет плотность при . Обозначим через функцию распределения , которая при равна
.
Случай и (или) не исключается.
Теорема 3.Пусть случайные величины и удовлетворяют следующим условиям:
а) ;
б) . (5)
Тогда случайная величина имеет плотность распределения .
Доказательство. По определению функция распределения строго возрастает в интервале от до , тогда уравнение (5) будет иметь единственный корень при каждом конкретном значении случайной величины . При этом будут равны вероятности
.
И так как случайная величина равномерно распределена в интервале , то
.
Следовательно . Что и требовалось доказать.
В тех случаях, когда уравнение (5) аналитически разрешимо относительно , получается явная формула для моделирования случайной величины , где обратная функция по отношению к . В других случаях уравнение (5) решают численными методами.
Пример. (Моделирование случайной величины имеющей показательное или экспоненциальное распределение). Пусть случайная величина, имеющая показательное распределение (обозначение ). Функция распределения имеет вид
.
Задаем и находим обратную функцию :
.
Следовательно, для генерирования искомой случайной величины, сначала генерируют случайную величину - выборка данной случайной величины. Затем определяют последовательность чисел
, (6)
которая и будет являться реализацией случайной величины .
4.6.3. Универсальный способ. Данный способ основан на аппроксимации функции плотности случайной величины.
Пусть требуется получить реализацию случайной величины , которая имеет функцию плотности, и множество значений данной функции есть интервал . Представим в виде кусочно-постоянной функции. Для этого разобьем интервал на интервалов и будем считать, что на каждом таком интервале является постоянной. Тогда случайную величину можно представить в виде , где абсцисса левой границы того интервала, а случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри интервала, то есть на интервале , а величина считается распределенной равномерно. Для аппроксимации функции целесообразно разбиение интервала осуществить так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал была постоянной, то есть не зависела от номера интервала . Таким образом, для вычисления необходимо воспользоваться следующим соотношением
Алгоритм моделирования случайной величины (получение значений):
1. Генерируется случайная последовательность равномерно распределенных чисел (чисел) из интервала (0; 1).
2.
3. С помощью числа случайным образом выбирается интервал : .
4. С помощью числа вычисляем значение случайной величины : .
5. Если , то увеличиваем индексы и , и переходим к пункту 3 данного алгоритма, в противном случае алгоритм заканчивает свою работу.
6. Числа являются значениями реализации случайной величины .
4.6.4. Способы, базирующиеся на предельных теоремах теории вероятностей. Такие способы ориентированы на моделирование случайных величин с конкретным законом распределения. Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Необходимо получить последовательность случайных чисел , имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Иными словами промоделировать случайную величину .
Воспользуемся центральной предельной теоремой 4.1.8. Промоделируем независимые одинаково распределенные случайные величины , которые имеют одинаковые математические ожидания и средне квадратичное отклонение , то сумма асимптотически нормальна с математическим ожиданием и дисперсией . В ходе моделирования случайных величин нами будут получены их числовые реализации , где это тая реализация той случайной величины . Тогда той реализацией случайной величины будет .
Пример 2. Необходимо промоделировать случайную величину, имеющую распределение Пуассона
.
Для этого воспользуемся предельной теоремой Пуассона (4.1.1): если вероятность наступления события при одном испытании, то вероятность наступление события раз в независимых испытаниях при асимптотически равна .
Алгоритм моделирования чисел имеющих закон распределения Пуассона:
1. Зададим достаточно большое натуральное число и , номер числа.
2. Проводим серию независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью . Определяем число случаев фактического наступления события в серии с номером .
3. Если , то возвращаемся к пункту 2 алгоритма, в противном случае алгоритм завершает свою работу.
4. Числа являются значениями реализации случайной величины распределенной по закону Пуассона.
4.6.5. Аналитические способы. Используют результаты других разделов математики и основываются на строгих аналитических доказательствах. Один из таких способов применен в разделе 4.7 при обосновании алгоритма моделирования случайной величины имеющей стандартное нормальное распределение.