Рассмотрим частные случаи

1. Функция постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту

.

2. Пусть непрерывна на . Разделим отрезок на произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения на длину , т.е. .

Составим сумму всех таких произведений

(6)

Сумма вида (6) называется интегральной суммой функции на отрезке .

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (6), когда так, что
.

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, - областью интегрирования.