Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производную первого порядка или дифференциалы и .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1)

Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет вид

(2)

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями

Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , обращающая уравнение в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

, (3)

которая зависит от произвольной постоянной с и обращает дифференци­альное уравнение (1) в тождество.

Определение. Общее решение

(4)

заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом значении .

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.