V. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:

(40)

где - действительные числа, принадлежит некоторому интервалу.

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Если то получим ряд по степеням х.

(41)

1. Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале и сходится равномерно на отрезке , где

Следствие. Если в точке степенной ряд расходится, то он расходится во всех точках , т. к.

Таким образом, всегда существует число R > 0, при котором степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходятся для всех . В точках ряд может как сходиться, так и расходиться.

Число называется радиусом сходимости, а интервал интервалом сходимости степенного ряда.

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:

Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:

а) b)