Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Охимеет вид:
если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме:
t=0; x=x0, vx=v0.
Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки получаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от времени, координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изменяют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.
Пример 1. Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v0. (t=0, x=0, vx=v0):
используя начальные условия получаем С1=v0
из начальных условий определяем С2=0 и в результате закон движения точки имеет вид:
Пример 2. Точка массы m движется из начального положения покоя под действием переменной силы F = kSinωt. Начальные условия t=0, x=0, vx=0. (рис. 37)
Рис. 37
Из начальных условий определим
(t=0 C2=0)
Получаем, что тело двигается равномерно с постоянной скоростью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:
Пример 3. Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v0 и движется под действием силы тяготения (Рис. 38). Начальные условия: t=0, x=R3, v=v0;
Имеем дифференциальное уравнение:
Рис. 38
Используя подстановку получаем уравнение
Разделяем переменные и берем интегралы:
или откуда
(*)
Для определения xmax (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда
и при ,
это выполняется для v0=11.2 км/с (вторая космическая скорость).
Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения (x=f(t)), разделив еще раз переменные и проведя интегрирование.