Расчёт на прочность и жёсткость осуществляется двумя методами: методом допускаемых напряжений, деформаций и методом допускаемых нагрузок.
Напряжения , при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называются предельными. Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации.
Напряжение , величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым.
Допускаемое напряжение – это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жёсткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.
Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения:
, (2.18)
где – нормативный коэффициент запаса, число, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного.
Для пластичных материалов допускаемое напряжение выбирают так, чтобы при любых неточностях расчёта или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т. е. (предел текучести):
, (2.19)
где – коэффициент запаса прочности по отношению к .
Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится, т. е (предел прочности):
, (2.20)
где – коэффициент запаса прочности по отношению к .
В машиностроении (при статическом нагружении) коэффициенты запаса прочности принимают: для пластичных материалов =1,4 – 1,8; для хрупких – =2,5 – 3,0.
Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям основан на том, что наибольшее расчётное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого значения (меньше – не более 10 %, больше – не более 5 %):
. (2.21)
Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости при растяжении:
. (2.22)
Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l] назначается отдельно для каждой конструкции.
Метод допускаемых нагрузок заключается в том, что внутренние силы, возникающие в наиболее опасном сечении конструкции в процессе эксплуатации, не должны превышать допускаемых значений нагрузок:
, (2.23)
где - разрушающая нагрузка, полученная в результате расчётов или экспериментов с учётом опыта изготовления и эксплуатации;
– коэффициент запаса прочности.
В дальнейшем будем использовать метод допускаемых напряжений и деформаций.
2.6. Проверочный и проектировочный расчёты
на прочность и жёсткость
Условие прочности (2.21) даёт возможность проводить три вида расчетов:
– проверочный – по известным размерам и материалу стержневого элемента (заданы площадь сечения А и [σ]) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку (N):
; (2.24)
– проектировочный – по известным нагрузкам (N – задано) и материалу элемента, т. е. по известному [σ], подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:
; (2.25)
– определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А – задано) и материалу элемента конструкции, т. е. по известному [σ], найти допускаемую величину внешней нагрузки:
. (2.26)
Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости (2.22) и формулы (2.10) при растяжении:
. (2.27)
Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l] назначается отдельно для каждой конструкции.
Аналогично расчётам по условию прочности условие жёсткости также предполагает три вида расчётов:
– проверка жёсткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия (2.22);
– расчёт проектируемого стержня, т. е. подбор его поперечного сечения:
; (2.28)
– установка работоспособности данного стержня, т. е. определение допустимой нагрузки:
. (2.29)
Прочностной анализ любой конструкции содержит следующие основные этапы:
1. Определение всех внешних сил и сил реакций опор.
2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня.
3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.
4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жёсткости.
Решение. Для определения N, используя метод РОЗУ, мысленно разрезаем стержень по сечениям I−I и II−II. Из условия равновесия части стержня ниже сечения I−I (рис. 9.б) получим (растяжение). Из условия равновесия стержня ниже сечения II−II (рис. 9в) получим
,
откуда (сжатие). Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил (рис. 9г). При этом растягивающую силу считаем положительной, сжимающую − отрицательной.
Напряжения равны: в сечениях нижней части стержня (рис. 9б)
(растяжение);
в сечениях верхней части стержня
(сжатие).
В выбранном масштабе строим эпюру напряжений (рис. 9д).
Для построения эпюры δ определяем перемещения характерных сечений В−В и С−С (перемещение сечения А−А равно нулю).
Сечение В−В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть сжимается:
(вверх).
Перемещение сечения, вызванное растяжением, считается положительным, вызванное сжатием – отрицательным.
Перемещение сечения С−С является алгебраической суммой перемещений В−В (δВ) и удлинения части стержня длиной l1:
.
В определённом масштабе откладываем значения и , соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсцисс сечений стержня, и получаем график (эпюру) перемещений (рис. 9е). Из эпюры видно, что некоторое сечение D–D не перемещается. Сечения, расположенные выше сечения D–D , перемещаются вверх (стержень сжимается); сечения, расположенные ниже, перемещаются вниз (стержень растягивается).