Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между и распределённой нагрузкой q.
Для вывода этих зависимостей рассмотрим произвольную балку (рис. 19а). Пусть к ней приложены внешние силы F1, F2, ..., Fn и распределённая нагрузка q(z), действующая по произвольному закону (положительное направление указано на рис. 19б – вверх). Выделим из бруса элемент длины dz. В пределах длины dz можно считать нагрузку q распределенной равномерно. Слева и справа в поперечных сечениях выделенного элемента приложены положительные силовые факторы Qy, Мх в соответствии с обусловленным выше правилом знаков, отличающиеся на dQy и dMx соответственно.
Условия равновесия элемента в проекции на ось у даёт
Qy + qdz – Qy – dQy = 0,
или
. (4.1)
Условие равенства нулю моментов всех сил относительно центра тяжести сечения (т. С) приводит к соотношению:
,
откуда, отбрасывая q·dz2/2 , как величину более высокого порядка малости, чем другие слагаемые, имеем
. (4.2)
Таким образом, поперечная сила Qy есть производная от изгибающего момента Мх по длине бруса, а интенсивность внешней распределённой нагрузки q – в свою очередь, производная от поперечной силы.
Проверим правильность построения эпюр, показанных на рис. 19. Так как в данном случае распределённая нагрузка q=0, то в соответствии с формулой (4.1) поперечные силы на обоих участках постоянны. На участке, где поперечная сила Qy постоянна и положительна, график изгибающего момента Мх, в соответствии с формулой (4.1), линейно возрастает (тангенс угла наклона графика изгибающего момента и есть значение Qy). На участке, где Qy постоянна и отрицательна, эпюра изгибающего момента Mx линейно убывает с тангенсом угла наклона, равным значению Qy на этом участке.