Эвольвентой (от лат. evolvens (evolventis) – разворачивающий) или развёрткой окружности называют плоскую кривую А0Y (рис. 54), которая описывается любой точкой Y прямой n-n, перекатываемой без скольжения по окружности. Линию n-n называют производящей прямой, а окружность радиуса rb, по которой она перекатывается, – эволютой (от лат. evoluta – развёртка) или основной окружностью.
Основные свойства эвольвенты:
– образующая прямая n – n всегда нормальна к эвольвенте (основное и важнейшее свойство эвольвенты);
– эвольвента начинается на основной окружности и всегда расположена вне окружности;
– форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности;
–эвольвента является кривой без перегибов.
Уравнение эвольвенты. Положение какой-либо точки Y эвольвенты определяется радиус-вектором ry и углом θy, называемым эвольвентным. Из свойства эвольвенты следует, что
NY=˘NmA0. (71)
Из рис. 54 видно, что
NY=rbtgαY, (72)
где α – угол профиля (угол между радиус-вектором ry и касательной к эвольвенте в точке А);
˘NmA0 = rb∙νY, (73)
где ν – угол развёрнутости (νy=αy+θy).
Подставляя (72) и (73) в (71), получаем
rbtgαy= rb∙νy= rb(αy+θy)
или
tgαy = (αy+θy). (74)
Из (8.6) находим
Θy = tgαy–αy. (75)
Выражение tgαY–αY сокращённо обозначается знаком invαY и читается как инволюта αY (от лат. involuta – развёрнута – то же самое, что и эвольвента): tgαY–αY = invαY.
Для инвалютных функций составлены таблицы, по которым по значению угла αY можно определить значение величины invαY. Таким образом, угол θY будет равен
Θy = invαy (76)
Из треугольника NYO радиус-вектор rY
(77)
Уравнения (8.8) и (8.9) есть уравнения эвольвенты в полярных координатах.