Как было отмечено, противоборство формализма, интуиционизма и формализма в математике может быть интерпретировано как противоборство реализма, концептуализма и номинализма в философии математики. И действительно, логицизм рассматривает квантифицированные переменные как указание на абстрактные объекты, интуиционизм интерпретирует квантифицированные переменные как указание на абстрактные переменные, которые могут быть сконструированы из элементов, созданных разумом, а логицизм трактует математику как игру условными, конвенционально определяемыми символами (Bernays P. On platonism in mathematics // Philosophy of mathematics. Englewood Cliffs, N. Y. 1964; Рвачев Л.А. Математика и семантика // Номинализм как интерпретация математики. Киев. 1966; Генкин Л. Номиналистический анализ математического языка // Математическая логика и ее применения. М., 1965. С. 216–224).
В современной логике также возникли различные исследовательские программы с разными онтологическими допущениями и предлагавшие разные интерпретации соотношения языка и реальности. Правда, в логике доминировали концепции, стремившиеся дать абстрактным объектам номиналистическую или концептуалистскую интерпретации. Противоборство реализма, номинализма и концептуализма приводило к ограничению области абстрактных объектов и к номиналистической элиминации универсалий. Если А.Мейнонг допускал существование фиктивных и абстрактных сущностей, а Б.Рассел и А.Уайтхед в “Principia mathematica” допускали существование отношений и строили теорию атрибутов как теорию классов, тождественных, коль скоро они совпадают экстенсионально и состоят из одних и тех же объектов, Г.Бергман предполагал существование внелогических составляющих формальной системы — имена и предикаты, то уже У.в.О.Куайн говорил об овеществлении (reification) универсалий, а Н.Гудмен строит вариант конструктивного номинализма в логике.
Рассмотрим более подробно пути номиналистической и концептуалистской элиминации универсалий, формы переинтерпретации платонистского языка в логике на номиналистический язык.
1. Платонистский реализм допускает существование абстрактных объектов. Трудность возникает тогда, когда речь идет о несуществующих объектах (например, о круглом квадрате). Формой номиналистической элиминации такого рода объектов является теория дескрипций, в которой фиксируется, что такого рода языковые выражения не являются указательными и не предполагают существование субъекта высказывания. Здесь возникают новые трудности с отрицательными суждениями существования, которые могут быть решены с помощью перевода знака существования в синтаксическую форму, где он становится оператором — квантором существования, который приписывается только предикатам, а не знакам для объектов. Этот путь скорее является концептуалистским, чем номиналистическим, поскольку он предполагает введение элементов, конструируемых рационально.
2. Общий путь номиналистической элиминации универсалий был предложен У.Куайном. Он заключается в сведении всех языковых выражений к стандартной форме выражений квантифицированными переменными. В таком случае объекты теории — это значения квантифицированных переменных в истинных предложениях этой теории. “Существовать значит быть значением квантифицируемой переменной”, — таков критерий Куйана. Если платонизм допускает существование абстрактных объектов в системе значений квантифицируемых переменных не только индивидных, но и предикатных, функциональных, пропозициональных, то номинализм допускает существование в языке только индивидных переменных и соответственно квантификацию только индивидных переменных. Естественно, речь идет о связанных, а не о свободных переменных. В этом нет различия между номинализмом и концептуализмом. Различие начинается там, где дается интерпретация способа существования, точнее говоря, способа конструирования значения связанных переменных. Относительно критерия Куайна развернулась дискуссия, которая не прекратилась и в наши дни. Так А.Черч подчеркивал, что онтологические допущения касаются только квантора существования, а не связанных переменных (Church A. Ontological commitment // Journal of Philosophy. 1958. Vol. 55). Тем более, что Черч стал говорить об интенсиональном объекте, или классе-концепте. В ходе дискуссий о критерии Куйана было осознано, что он действенен только в языках фреге-расселовского типа, в которых используется объектная интерпретация кванторов и предполагает помещение переменных в указательное положение. Причем Куйан интерпретировал при квантификации индивидных переменных квантор существования как дизъюнкцию, квантор всеобщности как конъюнкцию атомарных предложений. Квантификация переменных высшего уровня порождает проблему универсалий. Так квантификация предикатных переменных предполагает онтологию классов или атрибутов, а сами предикатные переменные должны рассматриваться как имена. Куйан выбрал путь интерпретации языка, при которой критерий существования выявляет онтологические допущения с помощью связанных переменных и осуществляется элиминация абстракций абстрактных объектов более высоких, чем первый, порядков. Так тождественность истолковывается как метафора того, что в действительности не является тождественным, лишь совпадает по какому-то одному выбранному параметру. Такого рода универсалии, как класс, длина и пр., интерпретируются как манера речи, как “фигуры речи, вводимые благодаря метафорическому употреблению знака тождества как чего-то, что в действительности тождеством не является, а является равенством длин или равенством форм” (Quine W. Logic and the reification of Universals // Das Universalien-Problem. Hrsg. Stegmuller W. Darmstadt. 1978. S. 150). Сам Куйан отмечает, что “концептуализм — наиболее сильная позиция из трех позиций” (Там же. S. 163) и рассматривает классы как конструкты, а не как абстрактные сущности. В связи с этим он подверг критике две догмы эмпиризма: 1) различение аналитических и синтетических суждений и 2) догму редукции абстрактных объектов к непосредственным данным.
3. Еще одной формой отказа от онтологических предпосылок теории и элиминации абстрактных сущностей было построение логик, свободных от экзистенциальных предпосылок (например, логика С. Лесьневского) и так называемых свободных логик, где устраняются все вопросы, связанные с указанием на объекты и единственным предметом рассмотрения являются имена, или термины. Здесь переменные трактуются как схематические буквы, на место которых возможно подставить пустые и непустые термины (См.: Гладких Ю.А. Логики, свободные от экзистенциальных предпосылок // Вопросы философии. 1970. № 3; Целищев В.В. Существование и пустые термины // Вопросы философии. 1970. № 12; Quine W.v.O. On w-inconsistency and so-called axiom of infinity // Journal of Symbolic logic. 1953. Vol. 18. P. 119–124). Здесь возникают свои трудности, в частности, с подстановочной квантификацией, которая требует изоморфизма имен и объектов и не применима в w-противоречивых системах логики.
4. Построение так называемых “виртуальных классов” — еще один путь элиминации абстрактных объектов. С помощью этой техники можно переинтерпретировать булеву алгебру классов и некоторые разделы математики и логики, не допуская существования таких объектов, как классы. Виртуальные классы характеризуют не объекты, а средства языка, или манеру речи с помощью двухместного предиката, выражающего членство в классе и квантификации по индивидным переменным (См.: Martin R.M. The philosophical import of virtual classes // The journal of philosophy. 1964. Vol. 61. P. 377–387). Логическая техника виртуальных классов также может быть рассмотрена как концептуалистская интерпретация таких абстрактных сущностей, как классы.
5. Общей предпосылкой номиналистической элиминации абстрактных сущностей является экстенсиональный подход, который запрещает композицию более чем одного сложного объекта из одних и тех же атомарных объектов. При этом квантор существования истолковывается как дизъюнкция, а квантор всеобщности как конъюнкция атомарных предложений. Введение интенсиональных объектов (атрибутов, классов, концептов, суждений и др.) уже означало допущение возможности платонистской реалистической позиции. Так абстрактному сингулярному термину соответствовало допущение концепта, общему термину — атрибут, или класс. Принцип экстенсиональности, согласно Расселу, заключается: 1) “Истинностное значение любой функции от суждения зависит только с истинностных значений ее аргументов... 2) истинностное значение любой функции от функции зависит от области значений функции...” (Рассел Б. Исследование значения истины. М., 1999. С. 185). И все же Рассел не смог обойтись без обращения к принципу интенсиональности. Так он перешел от высказывания о числах к высказываниям о классах объектов, от них к высказываниям о значении переменных в открытых предложениях, допустив тем самым существование интенсиональных объектов — пропозициональных функций как значения связанных переменных. Куайн в качестве общей характеристики отношения к универсалиям выявил то, что происходит овеществление универсалий в качестве сущностей, имя которых затем должно быть рассмотрено как предикаты. В современной логике для того, чтобы избавиться от какой-либо связанности с платонистским реализмом, предпочитают говорить об экстенсиональных и интенсиональных контекстах, а не об экстенсиональных и интенсиональных объектах.
6. Еще одной трудностью для номиналистической элиминации абстрактных понятий были так называемые пропозициональные установки. Б.Рассел назвал выражения типа: “считает, что”, “знает, что”, “говорит, что”, “верит, что”, пропозициональными установками. Они выражают мнения, желания, сомнения и др. И уже у Рассела возникли сомнения в том, что к ним приложим принцип экстенсиональности. Сингулярные термины в выражениях пропозициональной установки являются неопределенными указательными сингулярными терминами. Поэтому возникает трактовка выражений пропозициональных установок как основывающихся на допущении интенсиональных объектов — концептов или суждений. Так, согласно А.Айеру, необходимо допустить синонимичность всего класса предложений, которая выражает одно и то же значение — суждение (Ayer A. Language, Truth and Logic. L., 1946. P. 88). Тем самым царство идеальных, абстрактных объектов опять-таки расширилось: выражения пропозициональных установок требуют введения интенсиональных объектов или каких-то ментальных сущностей (См.: Quine W.V. On mental entities // Proceedings of American Academy of Arts and Sciences. 1953. Vol. 80. P. 198–203). Тождество значения выражений пропозициональных установок, или суждение (пропозиция) интерпретировалось по-разному. Вначале оно понималось как логическая эквивалентность предложений. Затем оно стало трактоваться как интенсиональный изоморфизм, или однооднозначное соответствие, составных частей сложного предложения (Р.Карнап), как индивидуированные объекты, названные Льюисом аналитическими значениями (Lewis С. The modes of meaning // Philosophy and phenomenological Research. 1944. Vol. 4. P. 236–249). А.Черч полагал, что суждение, или пропозиция, присущая выражениям пропозициональных установок, сохраняет указание на объекты. Куайн солидарен с Черчем, так как “именно пропозициональные установки настойчивее всего требуют постулирования пропозиций или чего-то подобного” (Куайн У.в.О. Слово и объект. М., 2000. С. 231). Позднее синонимичность выражений пропозициональных установок стала пониматься как структурная синонимия. При этой трактовке речь идет о синонимичности общих терминов, если они появляются на одних и тех предикатных местах, синонимичности предложений, которые могут быть трансформированы одно в другое в соответствии с правилами кванторной логики. Здесь, правда, возникают определенные трудности со взаимозаменимостью общих терминов, выражающих ненаблюдаемые сущности. И, наконец, сформировалась концепция пропозициональных установок, которая пыталась перевести их объекты в “вечные” предложения (У.Куайн развертывает этот подход в разделе “Бегство от интенсионала” в книге “Слово и объект”). Эти “вечные предложения” сохраняют свое истинное значение при любых обстоятельствах и зависят только от выбора универсума значений их свободных переменных. Поэтому объектами пропозициональной установки оказываются их парафразы в “вечные предложения”. Куайн приводит примеры такого рода трансформации. Предложения: Том полагает [Цицерон обличил Катилину]. Том полагает — Цицерон х [обличил Катилину]. Том полагает — Цицерон и Катилина ху [х обличил у]. Перефразируются в следующие предложения: Том полагает истинным “Цицерон обличил Катилину”. Том полагает истинным “у обличил Катилину” относительно Цицерона. Том полагает истинным “у обличил z” относительно Цицерона и Катилины. Как заметил Куйан, “объекты пропозициональных установок, таким образом, рассматривались бы просто как вечные предложения, открытые и закрытые. Ограничивая их вечными предложениями, мы не накладываем запрет на появление других предложений в контекстах пропозициональной установки; просто не они сами, а их парафразы в вечные предложения считаются в таком случае объектами установок” (Куайн У.в.О. Слово и объект. М., 2000. С. 242–243). Иными словами, предложение объектного языка переводится в метаязык, совпадая в своих истинностных значениях и элиминируя допущения интенсиональных объектов.
В современной логике пропозициональные установки рассматриваются как эпистемологические модальности в исследованиях по модальной логике. Здесь строится семантика “возможных миров”, где пропозициональная установка может быть перефразирована в терминах альтернатив А данному миру wi. Истинность в W предложения “а знает, что р” означает, что р имеет место во всех мирах, совместимых с тем, что а знает (Hintikka J. Semantics for prоpositional attitudes // Philosophical Logic. Dordrecht. 1969. P. 21–46).
Итак, если в философии математики доминировала реалистическая интерпретация абстрактных объектов и лишь в последнее время (не без влияния развития логики) формируется номиналистическая интерпретация ее объектов, то в современной логике доминируют номинализм и концептуализм. Платонистский реализм допускает существование абстрактных сущностей и умножает их до бесконечности. “Номиналист не признает, что два различных объекта могут быть сотворены из одних и тех же объектов. Например, предположим, что номиналист и платонист начинают с одних и тех же минимальных, атомарных элементов строить свои системы; для целей сравнения возьмем пять атомов. Номиналист же принимает также все конкретные количества, образованные как целое из этих элементов, и, таким образом, имеет универсум, состоящий из 25–1, то есть 31 объект... Наш платонист... допускает не количества, а классы атомов. Это дает ему помимо нулевого и единичного классов также 31 объект. Но далее он допускает все классы атомов, и одним только этим шагом он радушно принимает — универсум и 231–1, то есть более двух миллиардов дополнительных сущностей. И он не собирается на этом останавливаться. Он также допускает все классы классов атомов, раздувает чудовищно распухший универсум до битком набитых сущностями платоновских небес” (Гудмен Н. Мир индивидов // Способы создания миров. М., 2001. С. 322). Различие между номинализмом и концептуализмом заключается в том, что номинализм допускает существование только индивидов, а концептуализм допускает существование значений терминов и предложений, или интенсиональных объектов (атрибутов, концептов, пропозиций). Значение, или интенсиональные объекты, рассматриваются как конструкты, создаваемые человеческим разумом. И, конечно, позиция концептуализм предпочтительнее, чем две остальные позиции. Прежде всего она не предполагает платонистского умножения сущностей до бесконечности. Кроме того, она выявляет механизмы генезиса таких абстрактных объектов, как интенсионалы. В отличие от позиции последовательного номинализма концептуализм позволяет избежать излишнего усложнения языка при элиминации вводимых абстрактных сущностей и логических трудностей при осмыслении роли универсалий. Язык концептуализма гораздо более эффективен, чем подход номинализма к объектам теории и структуре логического языка.