Теорема о разложении функции по переменным

 

Пусть f(x₁, ..., x_n) Î P₂. Тогда для любого m: 1 ≤ m ≤ n допустимо представление:

f(x₁, ..., x_m, x_m+1, ..., x_n) = ,

где дизъюнкция берется по всем наборам из 0 и 1, которое называется разложением функции f по переменным x₁, ..., x_n.

Прежде чем доказать утверждение, рассмотрим примеры.

Пример 1. m = 1, запишем разложение по переменным х:

f(x₁, ..., x_n) = = f(0, x₂ , …,x_n)Úx₁f(1, x₂, ..., x_n). (1)

Пример 2.m=2, запишем разложение по переменным х и :

f(x₁,x₂,…x_n) = =

.

Если f(x₁, x₂) = x₁ Å x₂, то последняя формула дает x₁ Å x₂ = x₂Ú x₁.

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор (a₁, ..., a _n) и покажем, что левая и правая части формулы (1) принимают на этом наборе одинаковые значения. Слева имеем f(a₁, ..., a_n). Cправа : .

Дизъюнкция берется по всевозможным наборам (s₁, ..., s_m). Если в этих наборах хотя бы одно s_i ¹ a_i (1≤i≤m), то = 0 и , следовательно, ненулевой член будет только на наборе (s₁, ..., s_m) = (a₁, ..., a_m), тогда f(a₁, ..., a_n).