Пусть функция f(x1,…,xn) частично (не всюду) определена. Если f не определена на p наборах из 0 и 1, то существует 2p возможностей для доопределения функции f. Полностью определенная функция g (x1,…,xn) есть доопределение функции f, если g совпадает с f на тех наборах из 0 и 1, на которых f определена.
Задача минимизации частично определенной функции f сводится к отысканию такого доопределения g функции f, которое имеет простейшую (по числу букв ) минимальную форму.
Обозначим через f0(x1,…,xn) и f1(x1,…,xn) доопределения нулями и единицами соответсвенно частично определенной функции f(x1,…,xn).
Теорема. Минимальная ДНФ частично определенной функции f(x1,…,xn) есть дизъюнкция самых коротких импликант в сокращенной ДНФ доопределения f1(x1,…,xn), которые в совкупности накрывают все конституенты единицы доопределения f0(x1,…,xn).
Доказательство. Рассмотрим СДНФ некоторого доопределения g(x1,…,xn) функции f(x1,…,xn). Конституенты единицы, входящие в эту форму, войдут и в СДНФ доопределения f1. Поэтому любой простой импликант функции g будет совпадать с некоторым импликантом функции f1 или накрываться им. Самые короткие импликанты , накрывающие единицы функции f , есть импликанты функции f1. Доопределение f0 имеет минимальное количество конституент единицы в своей СДНФ , следовательно , и количество простых импликант функции f1 , потребных для накрытия этих конституент , будет наименьшим . ДНФ , составленная из самых коротких простых импликант в сокращенной ДНФ функции f1 , накрывающих все конституенты единицы функции f0 , будет самой короткой ДНФ, доопределяющей функцию f .
Так как единицы функции f1 составлены из единиц функции f и единиц на наборах , на которых f не определена , то построенная ДНФ , накрывая все единицы функции f0 ( а , следовательно , и все единицы функции f ) , совпадает с минимальной ДНФ некоторого доопределения g функции f .