Статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.

 

Рассмотрим поперечное сечение бруса (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2 Иллюстрация к записи выражений (3.1)

На малой площадке этого сечения dA действуют нормальные σ_x и касательные τ_xy и τ_xz напряжения.

Учитывая, что главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении статически эквивалентны системе напряжений в нём, запишем их компоненты относительно главных центральных осей OX, OY и OZ., проинтегрировав элементарные силы и моменты, создаваемые напряжениями на площадке dA:

 

N_x =σ_xdA ; Q_y = τ_xydA ; Q_z =τ_xzdA ;

(3.1)

 

M_x =(zτ_xy- yτ_xz )dA ; M_y =zσ_xdA ; M_z =yσ_xdA.

Подынтегральные функции в правой части выражений (3.1)

 

σ_x = σ_x(x₀,y,z); τ_xy = τ_xz(x₀,y,z); τ_xz = τ_xz(x₀,y,z), (3.2)

 

где x₀ абсцисса сечения ,не могут быть однозначно определены по заданному внутреннему силовому фактору слева. То есть уравнений равновесия статики (2.1), (2.2), (3.1) недостаточно для нахождения законов распределения внутренних сил в поперечном сечении бруса. Этот факт носит название статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.

Следовательно, для определения напряжений и деформаций ( раскрытия статической неопределимости ) необходимо составить дополнительные уравнения рассмотрев кроме статической стороны задачи другие её стороны:

-перемещения и деформации в рамках ограничений, которые на них накладывает гипотеза плоских сечений;

-связь напряжений с деформациями, обусловленную законом Гука.