Визначення критичних напруг

Жорсткі стрижні розраховують на стиск за умовою

σ = P/A ≤ [ σ-], (2)

де P – стискаюча сила, A – площа поперечного перерізу стрижня,

[σ-]= σгр/n (3)

- допускна напруга на стиск (далі нижній індекс будемо опускати), n – коефіцієнт запасу, обумовлений галузевими нормами міцності.

Для стрижнів великої гнучкості на підставі точного або чисельного розв'язання крайової задачі для рівняння стійкості [7]

(4) (4)

критичні (ейлерові) напруги можуть бути представлені у формі

σ кр= σэ = π2 E/λ2 (5)

і, як правило, добре узгоджуються з експериментами.

Фізично нелінійна задача про стійкість стрижнів кінцевої гнучкості представляє значні труднощі й найбільш достовірними є залежності, що апроксимують результати експериментальних досліджень, з яких найбільш відома формула Ф.С. Ясинського[1,3, 5-10]

σкр= a – bλ + cλ2 (6)

Тут а, b і c - коефіцієнти, що залежать від матеріалу [5, стор. 455].

У кожному разі аж до початку втрати стійкості стрижень працює на стиск і умову стійкості можна записати аналогічно умові міцності на стиск (2)

σ = P / A ≤ [σу], (7)

де [ σу]= σ кр / nу (8)

і nу відповідно допускні напруги і коефіцієнт запасу на стійкість, причому [σу]≤[σ]. Замість останньої нерівності можна записати рівність

[σу] = φ [σ] (9)

Тут 0<φ ≤ 1 - коефіцієнт зміни основного напруження, що допускається на стиск, або коефіцієнт умовного напруження, що допускається.

Підставляючи (9) в (7), умову стійкості можна переписати у вигляді

σ = P/A ≤ φ [σ] (10)

У навчальній і довідковій літературі [1,3,5-10] приводяться табульовані залежності

φ = φ (λ) (11)

для різних конструкційних матеріалів.

1.3 Алгоритм розрахунків на стійкість

Якщо відомі розміри й форма поперечного перерізу, то площа А і радіус інерції перерізу i можуть бути визначені по формулах

A=ka r2 ; i=ki r, (12)

де ka і ki залежать тільки від форми (однакові для геометрично подібних фігур). Підставивши (11) в (10) з урахуванням (1) і (12) отримаємо рівняння

Pдоп=φ(νl/( ki r)) [ σ] ka r2, (13)

яке можна тим або іншим способом вирішити щодо будь-якого невідомого.

Звичайно відомі довжина стрижня l, спосіб закріплення його кінців, отже ν, та матеріал, тобто [σ] і конкретна залежність (11). Нехай також задані розміри й форма поперечного перерізу (12). У результаті можна визначити допускне навантаження, Pдоп і зрівняти його із заданим P (перевірочний розрахунок).

Для заданого навантаження P можна відшукати характерний r та інші розміри поперечного перерізу, задавшись його формою (коефіцієнтами ka і ki) – проектувальний розрахунок.

В останньому випадку, як випливає з виду правої частини (13), рішення необхідно знайти послідовними наближеннями.

1.4 Проблеми реалізації алгоритму

При виконанні проектувальних розрахунків вручну трудомісткими є кількаразові звертання до таблиць (11) з виконанням інтерполяції. Безпосереднє програмування даного завдання для ЕОМ призводить до необхідності введення значних масивів початкових даних. Для складання компактних програм і при розрахунках вручну зручно апроксимувати таблиці (11) простими формулами з невеликим числом варійованих параметрів.

1.5 Апроксимація таблиць φ = φ (λ)

Типова форма графіка залежності φ від λ зображена на малюнку 1.

Малюнок 1. Графік φ = φ (λ)

Таблиці значень коефіцієнтів φ для різних матеріалів наводяться у довідниках і підручниках [1,3,5-10]. Звичайно таблиці будуються для інтервалу 0 < λ <200.

Апроксимація поліномом. Із зовнішнього вигляду кривої φ = φ (λ) випливає, що необхідний поліном ступеня не нижче 3-ого

φ (λ)=a0 + a1 λ +a2 λ2 + a3 λ3 (14)

На перший погляд здається, що необхідно використовувати формулу φ (λ)=1 + a1 λ +a2 λ2 + a3 λ3, яка автоматично прив'язала б функцію φ (λ) до точки (0,1). Однак вираз (14) має додатковий ступінь свободи, що дозволяє зменшити середні похибки апроксимації.

Результати визначення коефіцієнтів ai методом найменших квадратів (МНК) наведено у таблиці 1. Слід зазначити, що обчислення по формулі (14) приводять до малих різниць близьких величин. Тому слід уникати округлення коефіцієнтів ai і використовувати всі значущі цифри, наведені в таблиці 1.

Апроксимація експонентою. Для більш точного представлення кривої φ (λ) в інтервалі 0< λ< 200 можна було б скористатися рівнянням

(15a)

що містить три параметри. Однак, як показали розрахунки, з достатньою для практики точністю графік функції φ = φ (λ) може бути представлений для цього інтервалу залежністю

(15б)

Параметри b і a можуть бути підібрані як МНК, так і іншими методами наближеного аналізу з яких найбільш простий у реалізації метод колокацій (МК) використання якого у нашому випадку полягає у наступному.

Припустимо, відомі коефіцієнти φ1 і φ2 для двох значень гнучкості λ1 і λ2. Підставивши у формулу (15б) відповідні φ і λ, отримаємо два рівняння із двома невідомими a і b. Очевидно, що крива, задовольняюча рівнянню (15б), при цьому буде проходити через три точки з координатами (0,1), (λ1, φ1), (λ2, φ2) (точки колокацій (ТК), малюнок 1). У цьому випадку параметр b може бути знайдений з рішення трансцендентного рівняння

(16)

і параметр a - по формулі

,…і=1,2 (17)

Недоліком МК є невизначеність вибору точок колокацій, від яких залежить точність апроксимації, особливо при малому числі ТК (у розглянутому окремому випадку приймалися λ1 = 0.5λ2).

У таблиці 2 дані значення параметрів a і b, знайдені за описаною схемою для різних матеріалів. При цьому для вирішення рівняння (16) використовувалися дані з довідників [5, 6, 9] і метод половинного ділення [4].

 

 

Таблиця 1. Коефіцієнти ai у формулі (14)

Матеріал стрижня Діапазон значень λ а0 а1×102 а2×104 а3×106
1 Сталь класу 38/23 2­­­––“”–– 44/29 3­­­––“”–– 46/33 4­­­––“”–– 52/40 5­­­––“”––– 60/45 6­­­––“”–– 70/60 7­­­––“”–– 85/75 8 Ст 0, 2, 3, 4, 5 9 НЛ-1 10 НЛ-2 (15ХСНД) СПК 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…220 0…200 0…200 0…200 0…200 0…100 1,004318 1,016494 1,021961 1,030598 1,054729 1,073369 0.987300 0,987628 1,008762 0,995307   1,003143 -0,068536 -0,169260 -0,214025 -0.292394 -0,532364 -0,715697 0.121936 0,396687 -0,116613 -0,045446   -0,110939 -0,522620 -0,497074 -0,485396 -0,444941 -0,279710 -0,129279 -0.751707 -76,34876 -0,657878 -0,766780   -2,283945 0,173351 0,179785 0,182670 0,178780 0,149480 0,116339 0.248073 0,2718562 0,254104 0,291598   1,559925    
Матеріал стрижня Діапазон значень λ а0 а1×102 а2×104 а3×106
11 СЧ 12-28; СЧ 15-18; СЧ 15-30; СЧ 15-32; СЧ 15-36;          
СЧ 18-36; СЧ 21-40. 12 СЧ 21-44; СЧ 24-44; СЧ 28-48. 13 Амг     0…100     0…150     1,009925     1,006378     -0,391263     -0,114311     -2,327691     -0,871068     1,849383     0,423050
14 Амг6 15 АВТ1 16 Д16Т 17 Кам'яні та армокам'яні елементи 18 Залізобетон 19 Бетон важкий 20 Бетон легкий 21 Дерево (сосна, ялина) 0…150 0…150 0…150 0…150   0…100 0…100 0…100 0…200   1,036413 1,044095 1,071236 1,014077   0,970768 1,008460 1,008787 1,048227 -0,521529 -0,392641 -0,777400 -0,226183   +0,714628 -0,083384 +0,026714 -0,370861 -0,659902 -0,929945 -0,587496 -0,607519   -2,097372 -1,088066 -2,292274 -0,570146 0,417745 0,528714 0,455554 0,294597   0,911068 ,619705 1,767735 0,264138

 

 

Таблиця 2. Коефіцієнти a і b апроксимуючої функції (15б)

Матеріал стрижня Діапазон значень λ a×102 b Максимальна похибка, %
1 Сталь класу 38/23 2 ­­­­­ ––“”–– 44/29 3 ­­­­­ ––“”–– 46/33 4 ­­­­­ ––“”–– 52/40 5 ­­­­­ ––“”–– 60/45 6 СЧ 15-30; СЧ 41-40 7 СЧ 21-44; СЧ 28-48 8 Дерево 9 Бетон важкий 10 Бетон легкий 0…200 0…200 0…200 0…200 0…200 0…100 0…100 0…180 0…100 0…80 0,80174 0,88875 0,9254 0,96009 1,020 1,5985 2,0116 1,1877 1,3498 1,9511 0,89238 0,89758 0,90031 0,90676 0,90934 0,91078 0,89566 0,90949 0,65605 0,59180 + 3 + 3 + 3 +6/-3 +7/-3 + 3 + 5 + 6 + 4 + 4

 

Загальні рекомендації

Маючи формулу для обчислення коефіцієнта φ = φ (λ) типу (14) або (15), неважко скласти програму для підбору перерізів стислих стрижнів (проектувальний розрахунок) послідовними наближеннями (задані навантаження Р, приведена довжина νl, і форма поперечного перерізу, тобто ka і ki), або перевірки стійкості стрижня із заданими формою (відомі ka і ki), площею А поперечного перерізу та приведеною довжиною νl (визначається Pдоп на стійкість).

У таблиці 3 наведений один з варіантів такого алгоритму.

Його реалізація конкретною мовою програмування не представляє труднощів.

 

Таблиця 3. Алгоритм розрахунку центрально стислого стрижня.

  Введення початкових даних A: =0 (проектувальний ) або A: = A (перевірочний розрахунки) 2 Якщо А≠ 0, іти до п.17 3 φ0: = 0.5 4 φj: = φ0 5 Aj: = P/ φj[σ] 7 ij := ki rj 8 λj := νl/ ij 9 Підпрограма φj := φ (λj) 10 φj+1:= (φj+ φj-1)/2 11 Якщо | φj+1- φj| ≥ ε іти до п.5 12 Якщо λj < [λ] іти до п. 16 13 λ: = [λ]   14 i:= νl / λ 15 r:=i /ki 16 A:=ka r2 17 А – вивід. 18 вив. 19 i:=ki r вив. 20 λ := νl/ i вив. 21 Підпрограма φ = φ (λ) 22 σкр := φ[σ] вив. 23 σ:=P/A вив. 24 Pдоп:= φ[σ]A вив. 25 σ/ φ[σ] вив. 26 Кінець

 

Тут [λ] – найбільше значення гнучкості для розглянутого матеріалу, наведене в таблиці φ = φ (λ).

 

Список літератури використаної до лекції 10

1 Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 9. – М.: Гостехиздат, 1954.

2 Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи.
Пер. с англ. В. Д. Эфроса / Под ред. С.Т. Милейко. – М.: Мир, 1980. –390 с. с ил.

3 Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.

4 Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск: МП “РАСКО”,1991.-272 с.: ил.

5 Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С.,
Яковлев А.П., Матвеев В.В.; Отв. ред. Писаренко Г.С. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Наукова думка, 1988. – 736 с.

6 Стальные конструкции: справочник конструктора / Под ред. Н.П.Мельникова. – М.: Стройиздат, 1976. – 329 с.

7 Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н. Строительная механика корабля и основы теории упругости. – Л.: «Судостроение», 1972. – 720 с.

8 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1979. – 559 с.

9 Феcик О.П. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев: Будiвельник, 1982. – 280 с.

10 Филоненко-Бородич М.М. и др. Курс сопротивления материалов. – Ч.2. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 539 с.