Нормальное распределение имеет широкое распространение в прикладных задачах. Поэтому при изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности, асимметрию и эксцесс
, .
Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения и указывают на значительное отклонение от нормального (рис. 2.1.18, 2.1.19).
– пологая часть правее моды | – пологая часть левее моды |
Рис. 2.1.18.
случай | случай |
Рис. 2.1.19.
Замечание. При исследовании эксцесса надо считать, что нормальное и исследуемое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.
Пример 2.1.46. Дана функция плотности случайной величины X:
Найти асимметрию и эксцесс случайной величины X.
Решение. Вычислим вначале математическое ожидание и дисперсию случайной величины X (опуская промежуточные выкладки):
;
.
Отсюда .
Также, опуская промежуточные выкладки, вычислим центральные моменты и случайной величины X:
;
.
Заметим, что если построить график плотности , то можно увидеть, что он имеет вертикальную ось симметрии . Поэтому можно было бы, не вычисляя, сразу получить , .
Теперь находим асимметрию и эксцесс:
, .
Ответ: , .