Функции распределения, плотность распределения

Лекция4

функции распределения, плотность распределения,

Мат ожидание, дисперсия

Практика!!!

Основные понятия. Функция распределения

Случайной величины

Определение. Числовая функция элементарного события с областью определения называется случайной величиной, если : . Возможные значения x функции называются реализациями случайной величины .

Дискретные случайные величины

Простейшей формой закона распределения СВДТ с конечным множеством значений является ряд распределения, который задается аналитически или при помощи… Пример 2.1.4.Гипергеометрическое распределение – распределение числа белых… .

Непрерывные случайные величины

Определение. Случайная величина X с непрерывной функцией распределения называется непрерывной случайной величиной. Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной… .

Числовые характеристики случайных величин

Моменты распределения случайной величины

Определение. Начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется действительное число , определяемое по формуле: , если X – СВДТ; , если X – СВНТ.

Статистическое истолкование математического ожидания

. Обозначим . Определение. Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называется действительное число , определяемое по…

Механическая интерпретация математического ожидания и дисперсии

В заключение этого пункта вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (здесь ): … , , .

Мода, медиана и квантили

Определение. Модой СВДТ Х называется такое ее возможное значение , для которого , т.е. . Модой СВНТ Х называется действительное число , являющееся точкой максимума… Пример 2.1.21. Закон распределения случайной величины X имеет вид: X …

Упражнения

2.1.2. Случайная величина X принимает два значения и 10 с вероятностями и соответственно. Является ли она непрерывной случайной величиной? 2.1.3. Случайная величина X принимает только два различных значения a () и с… 2.1.4. Случайная величина X принимает только два различных значения 1 и с вероятностями 0,5. Вычислить и .

Ответы к упражнениям

2.1.1. Нет.

2.1.2. Нет.

2.1.3. 1) неверно; 2) неверно.

2.1.4. .

2.1.5. Является.

2.1.6. Не является.

2.1.7.

Х
P	0,8	0,16	0,04

, ,

2.1.8.

Х
P	0,3	0,6	0,1

, ,

2.1.9.

Х
P

, ,

2.1.10.

Х
P	0,1	0,2	0,5	0,2

,

2.1.11. ,

Х
P

Указание. Эта задача на гипергеометрическое распределение (пример 2.1.4), причем роль белых шаров играют москвичи.

2.1.12. Средний выигрыш составляет 79 рублей,

Х
P

 

2.1.13. , , ,

2.1.14. , , ,

2.1.15. 3.

Основные дискретные распределения

Биномиальное распределение

, где ; . Замечание. Это распределение зависит от двух параметров – n и p, поэтому пишут .

Распределение Пуассона

. Замечание. Это распределение зависит от одного параметра a, поэтому пишут . … Важнейшие числовые характеристики :

Простейший пуассоновский поток

Пусть на оси времени 0t случайным образом возникают точки – моменты появления каких-то однородных событий (например, вызовов на телефонной станции,… 1. Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или… 2. Ординарность. Это свойство заключается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий…

Геометрическое распределение

Вероятности для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название –… Замечание. Это распределение зависит от одного параметра p, поэтому пишут . … Геометрическое распределение появляется в следующих условиях. Пусть производится ряд независимых опытов с целью…

Упражнения

2.1.16.Вероятность брака при производстве приборов составляет 10%. С какой вероятностью среди 6 приборов, взятых для контроля, окажется ровно 2… 2.1.17.Студент может правильно решить задачу из контрольной работы с… 2.1.18.Из колоды в 36 карт 7 раз подряд наудачу выбирают карту, всякий раз возвращая её в колоду. С какой вероятностью…

Ответы к упражнениям

2.1.16..

2.1.17..

2.1.18..

2.1.19.

Х
P	0,01024	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,07776

, , .

2.1.20.

Х
P

, , .

2.1.21.

Х
P	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

, , .

2.1.22.

Х
P

, , .

2.1.23. , , .

2.1.24. 1.

2.1.25..

2.1.26..

2.1.27..

2.1.28..

2.1.29..

2.1.30..

2.1.31..

2.1.32. .

2.1.33. ; .

2.1.34. 36 карт; .

2.1.35. 20 человек; . Указание. При ответе на первый вопрос задачи используется «геометрическое + 1» распределение, а при ответе на второй вопрос применяется биномиальное распределение.

Основные непрерывные распределения

Равномерное распределение

График плотности приведен на рис. 2.1.10. Замечание. Это распределение зависит от двух параметров – a и b, поэтому пишут .

Показательное (экспоненциальное) распределение

График плотности приведен на рис. 2.1.12. Замечание. Это распределение зависит от одного параметра – , поэтому пишут .

Нормальное распределение

, . Замечание. Это распределение зависит от двух параметров – m и s, поэтому пишут… Методами математического анализа можно легко построить график плотности вероятности (кривой Гаусса) (рис. 2.1.16):

Асимметрия и эксцесс

, . Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для… Рис. 2.1.18. случай случай

Упражнения

2.1.36.Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке . Известно, что . Найти b и начальный момент . 2.1.37.Найти p-квантиль распределения . 2.1.38.Если соблюдается график движения трамваев, то среднее время ожидания пассажиром трамвая равно 3,5 минуты.…