Свойства параллелограмма
Для параллелограмма верно каждое из последующих утверждений
| Противолежащие стороны попарно равны | 
| Противолежащие стороны попарно параллельны |
| Противолежащие углы равны | 
| Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800 |
| Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам | 
| Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника |
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.
|
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Пусть ABCD – данный четырехугольник и (AB) || (CD), AB = CD.
Проведем диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB. Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана. |
Билет № 17.