Центральная и осевая симметрии. Сравнение симметрий. Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Теоремы

Билет №1.

1. Многоугольник называется выпуклым, если он

лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180° - (п - 2).

Свойства параллелограмма

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм. Доказательство Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO… Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Центральная и осевая симметрии

Центральная симметрия

Пример центральной симметрии Точки А и А1 – симметричные относительно точки О Рис.1

Осевая симметрия

Осевая симметрия Точки А и А1 — симметричные относительно прямой а Рис.3

Сравнение симметрий

Центральная и осевая симметрии

Построение треугольника (а) симметрично относительно оси (б) и точки (в)

Рис.5

 

2. Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла^[1]

Билет№16.

Пропорциональные отрезки

пропорциональны отрезкам и , если . Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3 см… .  

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

 

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Теорема.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Теорема.

Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. Тогда…

Теорема.

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов… Билет№15.

Теорема.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

2) Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его… Билет№3.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорма о средней линии треугольника

Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (рис 1). Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC. Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку подобия треугольников (B —…  

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
S = ab.

Доказательство

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь этого квадрата…  

Площадь параллелограмма

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Дано: параллелограмм – ABCD, основание AD=a, высота BK=h. Доказать: SABCD = a• h

Теоремы о касательной к окружности.

Пусть ОМ— радиус окружности, СD_|_OМ (черт. 318). Требуется доказать, что СD— касательная к окружности. Доказательство. Если ОМ _|_СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ,…

Обратная теорема о касательной

Теорема (обратная). Если прямая проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу с концом в точке A, то она касается окружности.

Докажи сам.

 

Билет№7.

1. Пифагоровы треугольники

 

 

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD иBC, высотой BH и площадью S. Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH. Диагональ BD разделяет трапецию на два… SABC = AD · BH / 2, SBCD = BC · DH1.

Теорема доказана.

1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции. 2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r2 / sinα, где r — радиус… 3. , где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Построения, основанные на свойствах прямоугольного треугольника

Даны два отрезка a и b. Постройте отрезок: а) x = ; б) x = ; в) x = . Решение. Первые два построения основаны на теореме Пифагора. а) x - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b .

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит… Доказательство. Рассмотрим треугольник, стороны которого равны a и b, а угол… Билет№9.

Теорема Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c (рис. 1). Докажем, что c2 = a2 + b2. Достроим треугольник до квадрата со… S = 4 · 1/2 · a b + c2 = 2 a b + с2. Таким образом,