Пусть дана функция полезности (целевая функция предпочтения потребителя) , где - количество i-го блага, вектор цен и доход I.
Задача потребительского выбора имеет следующий вид:
.
Заменив задачу потребительского выбора на задачу на условный экстремум, получим:
.
Введем функцию .
Запишем функцию Лагранжа и исследуем ее на безусловный экстремум.
Необходимые условия экстремума – равенство нулю частных производных функции Лагранжа:
.
Отсюда в точке локального рыночного равновесия выполняется
, то есть в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен.
Из равенства
следует, что дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат в точке оптимума одинакова по всем видам благ.