Нулевой и противоположный векторы линейного пространства

Опр.1.1. Пусть P- поле. Непустое множество V называется линейным пространством (либо векторным пространством) над P (элементы V будем называть векторами, элементы P - скалярами), когда: На V задана бинарная алгебраическая операция, которая называется сложением, или суммой, (то есть, " ,ÎV указанный вектор +ÎV).

Св-во 1.8. " ÎV 0=. Доказательство. (0+0)=0, 0+0=0, 0=. ■

Св-во 1.9. (-1) = – . Доказательство. 1+(-1)=0, (1+(-1)) =0, 1+(-1) =0, +(-1) =. Таким образом, из 1.1.3 и 1.6 следует, что (-1) = - .■

Св-во 1.10. "lÎP l=. Доказательство. По определению 1.1.2 +=, значит, l(+)=l, откуда по определению 1.1.7 l+l=lі l=.■

Св-во 1.11. Когда l=, тогда l=0, либо =. Доказательство. Пусть l¹0, тогда существует l‾¹. Домножим на l‾¹ обе части данного равенства: l‾¹(l)=l. Отсель по п.5 определения 1.1 и по свойству 1.10 получаем (l‾¹×l)=, из чего следует, что 1=, по п.8 определения 1.1 имеем, что=■

Вывод 1.12. l=тогда и только тогда, когда (l=0 либо =). Доказательство. Следует из 1.8, 1.10 и 1.11.■