Изоморфизм конечномерных векторных пространств

Азн.9.1. V, U-линейные пространства над P. f: V→U- линейное отображение. Когда f - биекция, тогда f называется изоморфизмом.

Пример 9.2. 1) - тождественное отображение. Биективность очевидна. Раньше показано, что линейно. 2) .Биективность очевидна.

Св-во 9.3. Когда f:V→U- изоморфизм линейных просторов, тогда f ^-1: V→U- также изоморфизм линейных просторов. Доказательство. Поскольку f - биекция ,тогда f ^-1- существует и является биекцией. Надо доказать, что f ^-1- линейное отображение. U P существуют единственные V такие, что и . При этом заметим, что и . Тогда

. n

Опр. 9.4. Если существует изоморфизм линейного пространства f:V→U, то говорят, что пространства V и U изоморфны и пишут .

Теорема 9.5. Отношение быть изоморфными - отношение эквивалентности на множестве линейных просторов
над P. Доказательство. 1) (рефлексивность) VV по 9.2.1; 2) (симметричность) VU U V по 9.3;

3) (транзитивность) Пусть VU і U W , а V U і UW - соответственные изоморфизмы, тогда отображение VW линейное па 8.11 и является биекцией, как композиция биекций, значиться является изоморфизмом и VW.n

Теорема 9.6. Когда dim_pV=n, тогда VP (изоморфно).Доказательство. Пусть dim_pV=n , фиксируем базис в V. Тогда произвольный V мои в этом базисе координаты . Зададим отображение f: V→Pⁿ:. Поскольку разные векторы в данном базисе имеют разные координаты, f является инъективным отображением. Для произвольного столбца Y=Pⁿ рассмотрим вектор . Очевидно, что , значиться, отображение f - сюрьективное, из чего следует, что f - биекция. n

Следствие 9.7. Все пространства размерности n над полем Р изоморфно. Доказательство: По 9.6. они все изоморфны Р. По 9.5. они изоморфны между собой n