Ортогональные векторы и ортогональный базис.

Опр.13.1.Вектарыевклидового пространства называются ортогональными, когда ()=0.

Св-во 13.2.В Евклидовом пространстве ε: 1. Нулевой вектор и только он ортогональное само сам;

2. Нулевой вектор и только он ортогональный всем векторам; 3 . Когда векторортогональный векторам ,тогда он ортогональный произвольной их линейной комбинации. Доказательство:

1) Когда =, то по 12.7.1 (,)=()=0; а когда ≠, то по 12.7.4 (,)>0. 2) Когда =0, то по 12.7.1 (,)=(,)=0; а когда ≠, то по 12.1.4 (,)>0. 3) Когда, то ÎR по 12.3 имеем .■

СВ-во 13.3.Ненулевые векторы ортогональные тогда и только тогда, когда угол между ними равный.

СВ-во 13.4.Еслипопарно ортогональные ненулевые векторы Евклидового пространства , тогда они линейно независимые. Доказа:Пусть , то: ; ; ; . По условию , то по 12.1 (,)>0, откуда . Аналогично доказывается, что . ■

Тэарэма 13.5.(Теорема Пифагора в евклидовом пространстве) Когда , ортагональные векторы евклидового пространства, то .

Доказательство: .■

Опр. 13.6.Базис в Евклидовом пространстве наз. ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.

Тэарэма13.7.Пусть векторы евклидового пространства имеют координаты соответственно, то . Доказ. Т.к , тогда . Т.к. базис ортогональный, , то: . ■