Координаты вектора в базисе. Определение и свойства

Св-во 5.9. Пусть _{,,. . . ,}(1) - базис пространства V. Каждый вектор ÎV единственным образом раскладывается по базису, то есть существует единственная последовательность l_1, l_{2, …,}l_nÎPтакая, что
=l₁+l₂+ _{. . .} +l_n(3) . Доказательство. Существование очевидно из условия полноты. Докажем единственность. Пусть =m₁+m₂+ _{. . .} +m_n, тогда l₁+l₂+ _{. . .} +l_n=m₁+m₂+ _{. . .} +m_n,значит
(l₁ – m₁) + (l₂ – m₂) + ... + (l_n – m_n) =. Из условия линейной независимости получаем, что
l₁=m_1, l₂=m_{2, ... ,} l_n=m_n.■

Опр. 5.10. Упорядоченная n-ка (l₁;...;l_n)из расписания (3) называется координатами вектора в базисе (1). Координаты вектора записывают в строчку (l₁;...;l_n)в ли столбец .

Св-во 5. 11. Когда вектор имеет в базисе (1) столбец координат X=,тогда "lÎR,вектор l имеет в (1) столбец координат lC=. Доказательство. По условию, = x₁+x₂+ ... +x_n, откуда l=lx₁+lx₂+...+lx_n.■

Св-во 5.12. Когда в базисе (1) вектор имеет столбец координат X= а вектор имеет столбец координат Y=, тогда +имеет в этом базисе столбец координат X+Y. Доказательство. По условию,=x₁+x₂+ ... +x_n, =y₁+y₂+ ... +y_n. Тогда, += (x₁+ x₂+ ... + x_n) + ( y₁+y₂+ ... +y_n) =
= (x₁+ y₁) + (x₂+y₂) + ...+ (x_n+ y_n) = (x₁ + y₁)+ (x₂ + y₂)+...+ (x_n + y_n). ■

В. 5. 13. Когда в базисе (1) векторы ()имеют столбцы координат X_i,, тогда "l_iÎPвектор имеет столбец координат . (Доказательство. ММИ по m.■)