Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.
По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи (табл. 6.1.).
Таблица 6.1 – Количественные критерии оценки тесноты связи.
| Величина коэффициента корреляции | Характер связи |
До 
| практически отсутствует |
- 
| слабая |
- 
| умеренная |
- 
| сильная |
Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:
прямой 
;
параболы 
;
гиперболы 
и т.д.
Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
na0 + a1
x = y;
a
x + a
x² = xy,
где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).
В уравнениях регрессии параметр aпоказывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр a(а в уравнении параболы и a
) – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.
Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.
, где
;
.
Таблица 6.2 – Оценка линейного коэффициента корреляции.
| Значение линейного коэффициента связи | Характер связи | Интерпретация связи |
| r = 0 | Отсутствует | |
| 0 < r < 1 | Прямая | С увеличением X увеличивается Y |
| -1 < r < 0 | Обратная | С увеличением X уменьшается Y, и наоборот |
| r = 1 | Функциональная | Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака |
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):
,
где 
- квадраты разности рангов;
n – число наблюдений (число пар рангов).
Если среди значений признаков x и y встречается несколько одинаковых, образуются связанные ранги, т.е. одинаковые средние номера. В этом случае коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:
Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой) (табл.3.3.).
Таблица 6.3 – Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции.
| a | b | a+b |
| c | d | c+d |
| a+c | b+d | a+b+ c+d |
Коэффициенты вычисляются по формулам:
ассоциации: 
=
;
контингенции: 
=
.
Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если >0,5 или > 0,3.
Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:
= 
; 
=
,
где 
- показатель взаимной сопряженности;
- определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:
= 
- 1,
- число значений (групп) первого признака;
- число значений (групп) второго признака.
Таблица 6.4 – Вспомогательная таблица для расчета коэффициента взаимной сопряженности
| y x | I | II | III | Всего |
| I | … | … | 
| 
|
| II | … | … |
| |
| III | … | … |
| |
| Итого | 
|
|
| n |
1+
= 
= 
.
6.1.По данным о сумме активов и кредитных вложений коммерческих банков Белоруссии необходимо определить направление и тесноту связи между признаками. Данные в таблице представлены после предварительной их обработки методом приведения параллельных данных.
Таблица. Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости суммы активов и кредитных вложений коммерческих банков Белоруссии
| № п/п | Банк | Кредитные вложения, млрд. нац. руб. х | Сумма активов, млрд. нац. руб. y | х2 | ху | 
|
| Комплексбанк | ||||||
| Белорусбанк | ||||||
| Приорбанк | ||||||
| Белбизнесбанк | ||||||
| Белпромстройбанк | ||||||
| Альфабанк | ||||||
| Белагропромбанк | ||||||
| Итого |
6.2.По данным группировки 40 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции необходимо построить уравнение связи (см. табл.).
Таблица. Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии по данным группировки предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли в I квартале 1998 г. (цифры условные)
| Балансовая прибыль, млн. руб. y | Объем произведенной продукции, млн. руб., х | ||||||||
| x´ | 300- 400 | 400- 500 | 500-600 | 600-700 | 700- 800 | fy | yfy | xyfy | |
| y´ | |||||||||
| 10-20 | |||||||||
| 20-30 | |||||||||
| 30 - 40 | |||||||||
| 40-50 | |||||||||
| 50-60 | |||||||||
| fx | - | ||||||||
| xfx | - | - | - | ||||||
| x2fx | - | - | - | ||||||
| - | - | - | - |
6.3.По данным о заработной плате и стаже работы членов бригады рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена, линейный коэффициент корреляции и определите параметры линейного уравнения регрессии:
| Зар.плата (руб.) | |||||
| Стаж работы (лет) |
Таблица. Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции рангов Спирмена, для расчета линейного коэффициента корреляции, для определения параметров линейного уравнения регрессии
| № п/п | Стаж работы х | Заработная плата, руб. y | Ранги | Разность d = Rx ‑ Ry | di2 | x2 | y2 | ху | 
| |
| Rx | Ry | |||||||||
| Итого |
6.4.Исследовались социально-демографическая характеристика случайных потребителей наркотиков в зависимости от их семейного положения в одном из регионов РФ (тыс. чел.). Результаты обследования характеризуются следующими данными:
Таблица. Расчетная таблица
| Группы потребителей наркотиков | Семейное положение | Всего | |
| замужем (женат) | не замужем (не женат) | ||
| Потреблял | 10,0 | 14,5 | |
| Не потреблял | 2,5 | 4,5 | |
| Итого |
Определите связь между группой потребителей наркотиков и их семейным положением (рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции).
6.5.Исследовалась зависимость между оценкой уровня жизни респондентов Москвы и типом предприятия, на котором они работают. Данные, характеризующие опрос, приведены в таблице. Необходимо определить коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Определить зависимость между признаками
Таблица. Расчетная таблица
| Тип предприятия | Оценка уровня жизни респондентов | Итого | |||
| вполне удовлетворен | скорее удовлетворен | скорее не удовлетворен | совсем не удовлетворен | ||
| Государственное | |||||
| АО | |||||
| Арендованное | |||||
| Частное | |||||
| Итого |
6.6.С помощью биссериального коэффициента корреляции исследовалась связь между возрастом и социальным положением основных категорий потенциальных эмигрантов. Данные, характеризующие эту связь, приведены в таблице.
Таблица. Зависимость возраста и социального положения потенциальных эмигрантов
| Основные категории потенциальных эмигрантов | Возраст, лет | Всего, чел. | |||
| до 30 | 30-40 | 40-50 | 50 и более | ||
| Руководители | |||||
| Рабочие | |||||
| Итого |
6.7.Определите зависимость между ценой спроса и ценой предложения на акции крупнейших предприятий одного из городов на 01.04.97 г. (табл.).
Таблица. Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции рангов Спирмена между ценой спроса и предложения на акции крупнейших предприятий города на 01.04.97 г.
| Акции № п/п | Средняя цена | Ранги | Разность рангов d=Rx-Ry | d i2 | ||
| спроса x | предложения y | Rx | Ry | |||
| 83636,24 | 60556,00 | |||||
| 83636,24 | 40706,58 | |||||
| 30306,64 | 33800,10 | |||||
| 13489,50 | 22082,14 | |||||
| 13928,30 | 33800,10 | |||||
| 26508,70 | 33800,10 | |||||
| 18068,97 | 20902,35 | |||||
| 28723,04 | 35944,00 | |||||
| 18991,43 | 21659,68 | |||||
| 18991,43 | 22469,18 | |||||
| 13489,50 | 20902,35 |