Интервальная оценка генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

 

9.1. Интервальная оценка дисперсии (среднего квадратичного отклонения) при известном математическом ожидании

 

Эффективной оценкой дисперсии в этом случае является

.

Используются два варианта интервальной оценки для σ²(σ).

1. Основу первого варианта составляет статистика

 

, (1.20)

 

которая имеет распределение χ² с п степенями свободы независимо от значения параметра σ² и как функция параметра σ² > 0 непрерывна и строго монотонна.

Следовательно, с учетом неравенства (1.12) будем иметь:

,

где и двусторонние критические границы χ²-распределения с п степенями свободы.

Решая неравенство относительно σ², получим, что с вероятностью γ выполняется неравенство

, (1.21)

 

и с такой же вероятностью выполняется неравенство

 

. (1.22)

 

Числа и находят по прил. 1 k = n и соответственно при р = α/2 и р = 1 – α/2. Интервальная оценка (1.22) не симметрична относительно.

2. Второй вариант предполагает нахождение интервальной оценки для σ при заданной надежности γ в виде

 

. (1.23)

 

При δ_α < 1 границы этой оценки симметричны относительно , и ошибка оценки , гарантируемая с вероятностью γ,

ε = δ_α. (1.24)

 

Возникает вопрос: как найти δ_α? Решая неравенство (1.23) относительно , получим, что с вероятностью 1–α выполняется неравенство

 

, (1.25)

 

или, учитывая формулу (1.20) и заменяя п на k, а α на р, получим

 

. (1.26)

 

Значения δ, удовлетворяющие равенству (1.26) при различных значениях р и k, приведены в прил. 5.

Итак,

 

, (1.27)

 

где δ_α – число, найденное в прил. 5 при k = п и р = α.