Интервальное оценивание генеральной доли

Интервальное оценивание вероятности события

Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применяем выборочный метод: проводим nнезависимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие А(вероятность р появления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота p* появлений событий А в серии из n испытаний принимается в качестве точечной оценки для вероятности pпоявления события А в отдельном испытании. При этом величину p* называют выборочной долейпоявлений события А, а р — генеральнойдолей.

В силу следствия из центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) относительную частоту события при большом объеме выборки можно считать нормально распределенной с параметрами M(p*)=p и

Поэтому при n>30доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя формулы (5.2)–(5.4):

(5.6)

где u_кр находится по таблицам функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности γ :2Ф(u_кр)=γ .

При малом объеме выборки n≤30 предельная ошибка определяется по таблице распределения Стьюдента

(5.7)

где t_кр=t(k; α) и число степеней свободы k=n-1 вероятность α=1-γ (двустороння область).

Формулы (5.6), (5.7) справедливы, если отбор проводился случайным повторным образом (генеральная совокупность бесконечна), в противном случае необходимо сделать поправку на бесповторность отбора (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Средняя ошибка выборки для генеральной доли

Генеральная совокупность	Бесконечная	Конечная объема N
Тип отбора	Повторный	Бесповторный
Средняя ошибка выборки

Пример 3. С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных оказалось 270 женщин. Постройте доверительный интервал, с вероятностью 0.95 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.

Решение. По условию выборочная доля женщин составляет (относительная частота женщин среди всех опрошенных). Так как отбор является повторным, и объем выборки велик (n=900) предельная ошибка выборки определяется по формуле

Значение u_кр находим по таблице функции Лапласа из соотношения 2Ф(u_кр)=γ, т.е. Функция Лапласа (приложение 1) принимает значение 0.475 при u_кр=1.96. Следовательно, предельная ошибка и искомый доверительный интервал

(p – ε, p + ε) = (0.3 – 0.18; 0.3 + 0.18) = (0.12; 0.48)

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0.12 до 0.48.

Пример 4. Владелец автостоянки считает день «удачным», если автостоянка заполнена более, чем на 80 %. В течение года было проведено 40 проверок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0.98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.

Решение. Выборочная доля «удачных» дней составляет

По таблице функции Лапласа найдем значение u_кр при заданной

доверительной вероятности

Ф(2.23) = 0.49, u_кр = 2.33.

Считая отбор бесповторным (т.е. две проверки в один день не проводилось), найдем предельную ошибку:

где n=40, N = 365 (дней). Отсюда

и доверительный интервал для генеральной доли

(p – ε, p + ε) = (0.6 – 0.17; 0.6 + 0.17) = (0.43; 0.77)

С вероятностью 0.98 можно ожидать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0.43 до 0.77.