АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
АЗН. Няхай К - падкальцо камутатыўнага кальца Т, наз. алгебраічна залежнымі над К, калі .
Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.
►ММІ па (колькасці літар)
n=1,
Будзем меркаваць, што сцвяржэнне выконваецца для элементарных сіметрычных паліномаў ад n- літар. Дакажам тады, што наша тэарэма выконваецца для элементарных сіметрычных паліномаў ад n- літар.
Доказ ад процілеглага. Няхай элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна залежныя. Калі - алгебраічна залежныя . Сярод гэтых паліномаў выбярам такі, які мае найменьшую ступень:
(не з’яўл. нулявым паліномам), калі меркаваць процілеглае, то атрымаем:
.
Прычым , а гэта супярэчыць таму, што f паліном найменшай ступені (нуляваму паліному).
Разгл. калi : …; .
З дадзенай роўнасці вынікае, што элементарныя сіметрычныя паліномы ад (n-1) літар алгебраічна залежныя, а гэта супярэчыць меркаванню індукцыі.◄