Паліномы ад адной літары: азначэнне, аперацыі з паліномамі. Ступень палінома. Ступень сумы і здабытку палінома

Паліномы ад адной літары: азначэнне, аперацыі з паліномамі. Ступень палінома. Ступень сумы і здабытку паліномаў.

– каэфіцыенты палінома, – вольны складнік. Калі складнік – старшы складнік, – старшы каэфіцыент, n – ступень палінома. (n=deg f(x)) Прыклад: 1) , 2= deg f(x),

Кольца паліномаў ад 1-ой літары над полем.

„ 1) ( [x], ) – абелева гр. - складанне на мн-ве [x] – бінарная алгебраічная аперацыя {па азнач. склад.… - f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) {гэта вынікае з азнач. складання паліномаў. Пры складанні…

Паліном як сумма аднаскладаў.

„1. Праверым, што F гомамарфізм кольцаў : 2. { = } Такім чынам F гомамарфізм. З выгляду адлюстравння F адразу бачна, што яно ін’ектыўнае і сюр’ектыўнае біектыўнае F – ізамарфізм.ƒ

Дачыненне падзельнасці паліномаў: азначэнне і уласцівасці.

Прыклад: а) f(x)=x+1, g(x)=2x+2 1) f(x), g(x) : 2) f(x), g(x) : т.к. 1/2

Дзяленне паліномаў з астачай.

АЗН: Дзяленне з астачай палінома на , наз. уявленне палінома у вызлядзе , дзе і deg deg Прыклад: ; – гэта не дзяленне з астачай, т.як , але ў – гэта дзяленне з астачай .

НАД паліномаў: азначэнне і ўласцівасці.

АЗН: Найбольшым агульным дзельнікам f(x) і g(x) наз. такі іх агульны дзельнік d(x), які дзел. на ўсякі іншы агульны дзельнік гэтых паліномаў:

 

„ ƒ

2 розных НАД паліномаў адрозніваюцца толькі не 0-вым множнікам з Р.

„h(x)= ƒ

Калі

„1) f(x)=

2) ƒ

 

„

 

2) ƒ

Алгарытм Эўкліда ў кольцы паліномаў.

     

Лінейнае выяўленне НАД паліномаў.

 

 

 

…

 

 

 

Т: Няхай , тады .

►Разгл. пасл. Эўкліда для і .

лін. выяўл. праз і

лін. выяўл. праз і

…

лін. выяўл. праз і

лін. выяўл. праз і

лін. выяўл. праз і

◄

 

Узаемна простыя паліномы: азначэнне і ўласцівасці.

Прыклад: f(x)=х-1, і g(x)=х+1 Крыт. уз-й пр-ці: Паліномы f(x) і g(x) узаемнапростыя т. і т.т., калі „ У гэты бок крытэрый вынікае з тэарэмы аб агульным дзельніку палінома.

Функцыянальны і алгебраічны погляд на паліномы.

  СЦВ: Калі паліном , то і адпаведныя адлюстраванні роўныя . ►Няхай ,

Паліномы ад некалькіх літар

  CЦВ: 1.Усялякі паліном з К[х,у] – сумма адносна выгляду

Лексікаграфі чнае ўпарадкаванне паліномаў

Прыклад: СЦВ: Дачыненне “больш высокі за” з’яўл. дачыненнем лінейнага парадку на… ►1. Рэфлексіўнасць ; 2. Антысімметрычнасць ( ) α падобны β; 3. Транзітыўнасць ( ) ; 4.…

Найвышэйшы складнік здабытку паліномаў ад некалькіх літар

СЦВ: Найвышэйшы складнік здабытку паліномаў f(x) і g(x) роўны здабытку найвышэйшых складнікаў f(x) і g(x). ► - найвышэйшы складнік f(x) - найвышэйшы складнік g(x)

Сіметрычныя паліномы: азначэнне, уласцівасці

АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.

Прыклад:

1. = – сіметрычны паліном

2. - несіметрычны паліном

Практыкаванне: Мноства усiх сiметрычных палiномау ад n-лiтар з’яул. падкольцам кольца.

Элементарныя сіметрычныя паліномы

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; . Мноства сіметрычных паліномаў ад n-літар - . Т: Няхай .

Адзінасць выяўлення сіметрычнага палінома праз элементарныя сіметрычныя паліномы.

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; . Мноства сіметрычных паліномаў ад n-літар - . Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.

Найвышэйшы складнік сіметрычнага палінома

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; . СЦВ: Няхай - найвышэйшы складнік, тады . ►(ад процілеглага)

Асноўная тэарэма аб элементарных сіметрычных паліномаў

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; . СЦВ: Няхай - найвышэйшы складнік, тады . Т (асноўная тэарэма аб элементарных сіметрычных паліномаў):Няхай , тады f выяўляецца як паліном ад элементарных…

Алгебраічная незалежнасць паліномаў.

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; . АЗН. Няхай К - падкальцо камутатыўнага кальца Т, наз. алгебраічна залежнымі… Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.

Рэзультант

АЗН. Няхай P - поле, (1) (2) . Тады рэзультантам будзе наз. такi дэтэрмiнант: (первые четыре записываем к-раз, след четыре n-раз) Прыклад: .