Тэарэма: Мноства [x] з аперацыямі і - гэта каммутатыўнае кольца з 1-й.
„ 1) ( [x], ) – абелева гр.
- складанне на мн-ве [x] – бінарная алгебраічная аперацыя {па азнач. склад. паліномаў}
- f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) {гэта вынікае з азнач. складання паліномаў. Пры складанні паліномаў складваюцца іх каэф., якія з’яшляюцца элементамі кальца К. А ў кальцы К складане – гэта ассац. аперацыя.}
- [x] : { }
- . { }
- . {Гэта вынікае з азн. склад. палінома і з таго, што складанне у кольцы К каммут. аперацыя.}
2) Множанне каммутатыўная аперацыя
(f(x) g(x)) h(x) = f(x) (g(x) h(x)) .
{Пры множанні паліному мы можым складнікі выгляду , прыводзім падобныя. Таму, каб даказаць ассац. множання, нам дастаткова дак. ассац. мн-ня для складнікаў выгляду: ; ; , правая ч-та: = правая ч-ка=левай}
3) Дыстрыбутыўнасць множання і .
{ . левая ч-ка: , правая ч-ка: правая ч-ка=левай}
з 1), 2), 3) мн. з аперац. і - кольца.
4) Пакажам, что каммутатыўнае кольца. Для гэтага нада праверыць, што выконваецца { }
5) Пакажам, что к-ца гэта кольца з 1-й. {Трэба паказаць што : / e(x)=1 } ƒ
АЗН: ( – будзем называць кольцам палінома ад літары х над К.
АЗН: Пазначым праз
СЦВ:
„ 1) 3) , З 1), 2), 3) па крыт. падкольца вынікае, што падкольца ƒ