Самый важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, представляют рациональные функции: , где - многочлены.
Если рациональная дробь неправильная, то с помощью делениянаможно выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь. Например:
Далее рассматриваем интегрирование только правильных рациональных дробей (т.е. дробей у которых степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе).
Рассмотрим вопрос о разложении рациональных дробей на простые дроби. Из алгебры известно, что всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй разлагается единственным образом на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами.
Пусть многочлен разложен на множители в следующем виде:
Например. 1) 2)
3)