Проверка.

2∙1-3i∙0+1=3,

(-3)∙1+(1-i)∙0+i∙1=i-3,

4∙1+0-2i∙1=4-2i.

Ответ:х₁=1, х₂=0, х₃=1.

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

1. Вычислить АВ, ВА, СВ, САВ и значение многочлена f(x)=x³-5x²+2x+4 от матрицы В.

1.1. А= , B= , C= .

1.2. А= , B= , C= .

1.3. А= , B= , C= .

1.4. А= , B= , C= .

1.5. А= , B= , C= .

1.6. А= , B= , C= .

1.7. А= , B= , C= .

1.8. А= , B= , C= .

1.9. А= , B= , C= .

1.10. А= , B= , C= .

1.11. А= , B= , C= .

1.12. А= , B= , C= .

1.13. А= , B= , C= .

1.14. А= , B= , C= .

1.15. А= , B= , C= .

 

6. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

7. Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

Найти все матрицы с действительными элементами, перестановочные с матрицей А.

7.1.A= , 7.2. A= , 7.3. A= .

7.4.A= , 7.5. A= , 7.6. A= .

7.7.A= , 7.8. A= , 7.9. A= .

7.10.A= , 7.11. A= , 7.12. A= .

7.13.A= , 7.14. A= , 7.15. A= .

 

Лабораторная работа №5

Определители

Вопросы для самоконтроля

1. ФОРМУЛА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Формула определителя: число слагаемых в правой части формулы, число сомножителей в каждом слагаемом, представители строк и столбцов, знак слагаемого. Определители второго и третьего порядка. Определитель треугольной матрицы. Определитель матрицы с нулевой строкой или столбцом.

2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Действия над матрицей, не меняющие ее определитель (транспонирование, умножение строки на число и прибавление к другой строке). Свойства определителей, связанные с пропорциональными строками, перестановкой строк, умножение строки на число, разложение строки в сумму.

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КЛЕТОЧНЫХ МАТРИЦ

Вычисление определителей клеточных матриц , , , , где А и В – квадратные матрицы порядка nиm.

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ

Доказательство мультипликативности матрицы.

5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

Минор элемента матрицы и алгебраическое дополнение. Лемма об определителе матрицы, у которого все элементы строки, кроме быть может одного, равны нулю. Равенство нулю суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки.

6. ФОРМУЛА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Определения обратимой и обратной матрицы. Единственность обратной матрицы. Матрица, обратная к произведению обратимых матриц. Присоединенная матрица. Произведение матрицы и присоединенной. Формула обратной матрицы. Невырожденная матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы.

7. НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Элементарные матрицы. Связь элементарных преобразований с умножением на элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА

Определение определителя Вандермондаи способ его вычисления.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Выбрать i, j, kтаким образом, чтобы слагаемое a_4ia_2ka₃₂a_i4входило в развернутое выражение определителя четвертого порядка со знаком «минус».

Решение. Так как каждое слагаемое развернутого выражения определителя представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, то в слагаемом a_4ia_2ka₃₂a_i4первые индексы исчерпываются четырьмя цифрами: 1, 2, 3, 4. Поскольку цифры 2, 3 и 4 присутствуют, то j=1.

Знак слагаемого a_4ia_2ka₃₂a_i4равен знаку перестановки

α= =(1 4)(2 3).

Так как цифры нижней строки перестановки не превышают 4 и все различны, то имеется два случая:

1) k=3, i=1; 2) k=1, i=3.

Рассмотрим эти случаи.

1) α= =(1 4)(2 3).

sgnα=(-1)^4-2=(-1)²=1,

т.е. перестановка α имеет знак «плюс».

2) α= =(1 4 3 2).

sgnα=(-1)^4-1=(-1)³=-1,

т.е. перестановка имеет знак «минус».

Таким образом, при j=1,i=3, k=1 слагаемое a_4ia_2ka₃₂a_i4входит в развернутое выражение определителя четвертого порядка со знаком «минус».

Ответ:i=3, j=1, k=1.

Пример 2. Вычислить определители:

а) , б) .

Решение. а) вычтем из первой строки вторую. Тогда

= =1000 =

=1000(-22251+56823)=1000∙34572=34572000.

б) данный определитель является определением Вандеморда, так как

= .

Поэтому =(5-2)(-1-2)(-1-5)=54.

Пример 3. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду

.

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки определителя. От этого преобразования знак определителя изменится на противоположный, т.е.

= .

Известно, что если все элементы некоторой строки умножить на число и сложить с элементами другой строки, то значение определителя не изменится. Применяя только преобразование, приведем определитель к треугольному виду.

= = .

Мы ко второй строке прибавили первую, умноженную на 2, а к третьей прибавили первую, умноженную на (-1). Затем к третьей строке прибавили вторую, умноженную на , и поучили определитель треугольного вида.

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, то

= =-(-1)(-5)∙1=-5.

Ответ: -5.

Замечание. Часто бывает полезно при вычислении определителя привести его к определителю клеточной матрицы с помощью преобразований из примера 3.

Пример 4. Найти матрицу, обратную матрице А с помощью алгебраических дополнений.

А= .

Решение. Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой

А^-1= .

Вычислим detA и алгебраические дополнения A_ijи подставим их в формулу.

detA= =(-1)(-1)¹⁺³ +1∙(-1)³⁺³ =

=-(2∙2∙1+0∙2∙(-1)+ (-1) (-1) (-1)- (-1)∙2 ∙(-1)-0∙(-1)∙1-2∙2∙(-1))+(1∙(-1)∙1+2∙2∙2+ +1∙(-1) ∙(-1)-2∙(-1) ∙(-1)-2∙1∙(-1)+2∙1∙1)=-5+6=1.

Здесь определитель четвертого порядка мы разложили по элементам третьего столбца, так как в этом столбце наибольшее число нулей. Определители третьего порядка вычислены по правилу Саррюса.

А₁₁=(-1)¹⁺¹ =(-1)²∙1∙(-1)²⁺² =1,

А₁₂=(-1)¹⁺² =(-1)³∙1∙(-1)²⁺² =-1,

А₁₃=5, А₁₄=3, А₂₁=-1, А₂₂=2, А₂₃=-9, А₂₄=-5, А₃₁=1, А₃₂=-1, А₃₃=6, А₃₄=3, А₄₁=-2, А₄₂=3, А₄₃=-13, А₄₄=-7.

А^-1= .

Нетрудно проверить, что А∙А^-1=А^-1∙А=Е, т.е. А^-1 – обратная матрица для матрицы А.

Ответ:

А^-1= .

Пример 5. С помощью элементарных преобразований найти матрицу, обратную матрице А. Сделать проверку.

А= .

Решение. Запишем матрицу (А|Е), где Е – единичная матрица, и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк таким образом, чтобы получилась матрица вида (Е|В). Матрица В будет обратной матрице А:

(А|Е)= ~ .

Мы оставили первую строку без изменений, ко второй прибавили первую, умноженную на (-2), к третьей прибавили первую. Теперь к третьей строке прибавим вторую. Получим матрицу

.

В этой матрице умножим третью строку на . Затем прибавим третью строку, умноженную на (-2), ко второй, а также сложим первую и третьи строки.

~ .

Остается к первой строке прибавить вторую, а вторую строку умножить на (-1). Получим матрицу:

=(Е|B).

Следовательно,

В= .

Проверка. Покажем, что В=А^-1, т.е. В является матрицей, обратной А. Для этого нужно проверить выполнение равенства АВ=ВА=Е.

АВ= = = = =Е.

ВА= = = = =Е.

Ответ:

А^-1= .

 

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

1. выбрать значения i, j, kтак, чтобы произведение mвходило в развернутое выражение определителя шестого порядка со знаком «минус».

1.1. m= .

1.2. m= .

1.3. m= .

1.4. m= .

1.5. m= .

1.6. m= .

1.7. m= .

1.8. m= .

1.9. m= .

1.10. m= .

1.11. m= .

1.12. m= .

1.13. m= .

1.14. m= .

1.15. m= .

2. Вычислить определители матриц А, В, С.

А В С

2.1. , .

2.2. , , .

2.3. , , .

2.4. , , .

2.5. , , .

2.6. , , .

2.7. , , .

2.8. , , .

2.9. , , .

2.10. , , .

2.11. , , .

2.12. , , .

2.13. , , .

2.14. , , .

2.15. , , .

3. Вычислить определители матриц F и Hприведением их к треугольному виду

F H

3.1. , .

3.2. , .

3.3. , .

3.4. , .

3.5. , .

3.6. , .

3.7. , .

3.8. , .

3.9. , .

3.10. , .

3.11. , .

3.12. , .

3.13. , .

3.14. , .

3.15. , .

 

Лабораторная работа №6.

Системы линейных уравнений.

Вопросы для самоконтроля.

1. ПРАВИЛО КРАМЕРА.

Определение крамеровской системы линейных уравнений, число ее решений. Правило Крамеранаходения решения систем линейных уравнений. Матричный способ нахождения решения систем линейных уравнений.

2. РАНГ МАТРИЦЫ.

Минор r-го порядка. Лемма о минорах (r+1)-го порядка. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования матрицы и ее ранг. Ранг ступенчатой матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

3. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАНЕЛЛА.

Доказательство теоремы Кронекера-Конелли. Главные и свободные неизвестные. Алгоритмы нахождения решений системы линейных уравнений.

4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Определение однородной системы линейных уравнений, ее совместимость. Теорема о существовании ненулевых решений однородной системы и ее следствия.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Дана система линейных уравнений

 

Проверить, совместна ли эта система и в случае совместности решить ее: а) матричным методом; б) методом Гаусса.

Решение. Совместимость данной системы проверим по теореме Кронекера-Конелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

А=

данной системы и ранг расширенной матрицы

В= .

Будем преобразовывать расширенную матрицу

В= ~ ~ ~ ~

~ ~ .

Так как число ненулевых строк в ступенчатом виде матриц А и В равно 3, то ранг матриц А и В равны (rangA=rangB=3). Значит, исходная система совместна. Так как ранги матриц А и В равны числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

а) Для решения системы матричным методом выделим в системе число уравнений, равное рангу матрицы, таким образом, чтобы определитель из коэффициентов при неизвестных в выбранных уравнениях был отличен от нуля. Этим условиям удовлетворяют уравнения

 

так как определитель

=-12≠0.

Эту систему можно записать в матричном виде АХ=В, где

А= , Х= , B= .

Решение системы в матричной форме имеет вид Х=А^-1В. Так как

А^-1= = .

Значит, х₁=-1, х₂=2, х₃=0.

б) Для решения системы методом Гаусса воспользуемся полученной ступенчатой матрицей

.

Запишем систему, соответствующую этой матрице.

 

Из третьего уравнения найдем x₃=0. Подставим его во второе уравнение, получим х₂=2. Из первого уравнения х₁=-1.