Комплексные числа

 

№2 1.1-1.15, 4.1-4.15, 5.1-5.15, 6.1-6.15

№4 1.1-1.15, 6.1-6.15, 7.1-7.15

№5 2.1-2.15, 3.1-3.15

№6 1.1-1.15, 2.1-2.15, 3.1-3.15, 4.1-4.15

№7 1.1-1.15, 2.1-2.15, 4.1-4.15, 6.1-6.15, 7.1-7.15

№8 3.1-3.15

 

 

Лабораторная работа №2

Комплексные числа

Вопросы для самоконтроля

1. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Пары действительных чисел, их сложение и вычитание. Свойства этих операций, нулевой, единичный, противоположный и обратные элементы. Поле комплексных чисел. Действительные числа как подполе поля комплексных чисел.

2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.

Число i. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме.

3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Изображение комплексных чисел. Формула Муавра.

4. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Определение корня n-й степени. Формула корней n-й степени из комплексного числа. Корни из единицы. Корни n-й степени из единицы для n≤4.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме числа: 1+i, -1+i , -1-i, 1-i.

Решение. Для каждого комплексного числа, откладывая действительную часть по оси ОХ, а мнимую по оси OY, получим четыре точки:P₁(1;1), P₂(-1;1), P₃(-1;-1), P₄(1;-1).

 

Все четыре числа имеют равные модули: |OP₁|=|OP₂|=|OP₃|=|OP₄|= = . Модуль комплексного числа a+biвычисляется по формуле r= , т.е равен длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку, изображающую комплексное число. Аргумент комплексного числа равен величине угла, отсчитанного от оси ОХ против часовой стрелки до радиус-вектора, отображающего данное число. Для числа 1+i получаем arg(1+i)= ₁= . Находим аргументы остальных комплексных чисел:

arg(-1+i)= ₂=π- = ,

arg(-1-i)= ₃=π+ = ,

arg(1-i)= ₄=2π- = .

Используя найденные значения модулей и аргументов комплексных чисел, получаем

Ответ:

1+i= (cos +isin ),

-1+i= (cos +isin ),

-1-i= (cos +isin ),

1-i= (cos +isin ).

Пример 2. Вычислить (-1+i )⁶, .

Решение. Предоставим число -1+i в тригонометрической форме

r=| |= =2,

ag(-1+i )=φ.

Из чертежа видим, что π. Таким образом,

(-1+i )=2(cos +isin ).

ПоформулеМуавраимеем:

 

(-1+i )⁶=(2(cos +isin ))⁶=2⁶(cos +isin )=2⁶(сos4π+isin4π)=64.

Для вычисления корня из комплексного числа используем формулу

= (cos+isin),

K=0,1,…,n-1. Имеем: z_k= = ( ), k=0,1,2,3.

Полагая k=0,1,2,3, получаем

Z₀= (cos +isin )= +i ,

Z₁= (cos +isin )= +i ,

Z₂= (cos +isin )= -i ,

Z₃= (cos +isin )= -i .

Пример 3. Вычислить в алгебраической форме.

Решение. Пусть =x+iy, где x,y – действительные числа. Тогда, возведя обе части равенства в квадрат, получим:

1-i=x²-y²+2xyi.

Из условия равенства комплексных чисел имеем систему уравнений относительно x и y:

 

Из второго уравнения выразим y и подставим в первое уравнение:

y= , (*)

x²- =1 или =0.

Решая последнее уравнение, найдем два значения для х:

1+

Х₁= , Х₂=- .

Подставляя найденные значения в (*), получим

y₁=- , у₂= .

Итак, имеет два значения:z₁₌ -i , z_2=- +i .

Пример 4. Найти действительные числа х и у из уравнения

= .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

- =0,

=0.

Отсюда получаем систему:

 

Из второго уравнения следует, что либо у=0, либо х=1.

Если у=0, то из первого уравнения либо х=0, либо х=-1. Но из области определения уравнения следует, что х и у не могут одновременно равняться нулю. Значит, остается решение х=-1, у=0.

Если х=1, то из первого уравнения у= .

Ответ: х=-1, у=0 или х=1, у= .

Пример 5. Решить систему уравнений:

 

Решение. Выразим х из первого уравнения системы:

х= .

Подставим найденное значение во второе уравнение системы и найдем у:

(1-i)(1+iy)+(1+i)y=1+3i,

y(1+i)=2i,

y= =1+i.

Тогда

x=1+i(1+i)=1+i+i²=i.

Проверка. Подставляя в исходную систему x=i, y=1+i, получим верные равенства

(1+i)i+(1-i)(1+i)=i+i²+1-i²=1+i,

(1-i)i+(1+i)(1+i)=i-i²+1+i+2i+i²=1+3i.

Ответ:x=1, y=1+i.

 

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

1. Найти z₁+z₂, z₁-z₂, z₁∙z_{2, , .}

 

z₁

1.1 2+i,

1.2 -1+3i,

1.3 4-i,

1.4 -1+4i,

1.5 3-I,

1.6 -4+i,

1.7 1+3i,

1.8 4-i,

1.9 2-4i,

1.10 -3+2i,

1.11 -2+5i,

1.12 -4+3i,

1.13 5-2i,

z₂

-3+2i.

2-i.

1-3i.

2-3i.

-2+i.

2-i.

-2+i.

-3+5i.

3+i.

5-i.

-1+i.

3-i.

3+4i.

1.14 -1-2i, 4-3i.

1.15 3-4i, 2+i.

 

4.Вычислить:

4.1 5(cos10°+isin10°)∙2(cos80°-isin280°).

4.2 3(cos50°-isin670°)∙2(cos290°+isin70°).

4.3 (cos220°+isin140°)/(cos50°-isin310°).

4.4 (cos130°-isin130°)/(cos40°+isin40°).

4.5 2(cos +isin )/6(cos -isin ).

4.6 (cos -isin )(cos +isin )∙7(cos -isin ).

4.7 5(cos109°+isin109°)/3(cos319°-isin319°).

4.8 3(cos20°+isin20°)∙2(cos200°-isin200°).

4.9 (cos80°-isin80°)(cos10°+isin10°)/(cos250°+isin110°).

4.10 5(cos -isin )∙(cos +isin ).

4.11 6(cos42°-isin42°)∙5(cos32°+isin32°).

4.12 (cos -isin )∙5(cos isin ).

4.13 3(cos110°-isin110°)/(cos140°-isin140°).

4.14 7(cos130°-isin130°)∙3(cos320°-isin320°).

4.15 3(cos10°-isin10°)(cos160°-isin160°)/(cos230°-isin230°).

 

5. Вычислить:

5.1. (1+i)²⁵, , , .

5.2. , , , .

5.3. , , , .

5.4. , , , .

5.5. , , , .

5.6. , , .

5.7. , , , .

5.8. , , , .

5.9. , , , .

5.10. , , , .

5.11. , , , .

5.12. , , , .

5.13. , , , .

5.14. , , , .

5.15. , , , .

 

6. Решить уравнения:

6.1. -(2+i)x+(-1+7i)=0,

6.2. -3x+4=0, -(3-2i)x+(5-5i)=0.

6.3. (2+1) -(5-i)x+(2-2i)=0, 2 -3x+5=0.

6.4. +(2i-7)x+(13-i)=0, +3x+6=0.

6.5. -(1+i)x+6+3i=0, 3 -2x+3=0.

6.6. -5x++4+10i=0, -2 +x-1=0.

6.7. - +2x-2=0, (1-i) +(5-i)x+4+2i=0.

6.8. (3+i) +(1-i)x-6i=0, +x+2=0.

6.9. 3 -2x+4=0, 4 +(4-2i)x-4-3i=0.

6.10. -2 +3x-2=0, +2ix-1-i=0.

6.11. 4 +12x+8-i=0, 3 +5x+3=0.

6.12. 4 -4x+1+i=0, 2 -4x+5=0.

6.13. -2x+5=0, 2 +(2+2i)x+2+i=0.

6.14. +3x+5=0, +(2-1)x+1-i=0.

6.15. +(2+i)x+1+i=0, +5x+7=0.

 

Лабораторная работа №4

Матрицы и действия над ними

Вопросы для самоконтроля

1. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

k×l - матрица. Строки и столбцы, их запись. Равенство двух матриц. Квадратная матрица, диагонали. Единичная матрица. Сложение матриц и умножение матриц на число, основные свойства. Противоположная матрица.

2. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Произведение строки на столбец. Умножение матриц и его свойства. Умножение на единичную матрицу. Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения.

3. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ

Транспонирование матиц и его свойства.

4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

Элементарные преобразования матриц 1-го и 2-го рода. Перестановка строк матрицы. Ступенчатая матрица и приведение произвольной матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Обратимость элементарных преобразований.

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОД ГАУССА

Система линейных уравнений, ее неизвестные, коэффициенты и свободные члены. Матица системы, расширенная матрица. Матричная запись системы, столбец неизвестных, столбец свободных членов. Решения системы линейных уравнений. Совместная и несовместная система. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Равносильные системы. Ступенчатая система. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вычислить 2А-ВС, если

А= , В= , С= .

Решение.Перемножим матрицы В и С:

ВС= =

= =

= .

Так как

2А=2 = ,

то

2А-ВС= - = .

Ответ:2А-ВС= .

Пример 2. Решить систему матричных уравнений:

 

Решение:Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:

4X-2Y+3X+2Y=2 + ,

7X= ,

X= .

Из первого уравнения системы

Y=2X- =2 - = .

Ответ:X= , Y= .

Пример 3. Найти матрицы X= , удовлетворяющие уравнению f(X)=0, если f(x)=x²-4x+3.

Решение.Найдем значение трехчлена f(x)от Х

f(X)=X²-4X¹+3X⁰= -4 +3 =

= - + =

= .

Тогда из равенства

=

получаем систему уравнений

 

Из второго уравненияy(-2x+4)=0 следует, что либо у=0, либо х=2.

Если у=0, то из первого уравнения системы получаем

х²-4х+3=0,

откуда х₁=1, х₂=3.

Если х=2, то из первого уравнения

у²=1 или у₁=1, у₂=-1.

Ответ:

Х₁= , Х₂= ,

Х₃= , Х₄= .

Пример 4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду:

~ .

Мы ко второй строке, умножив на 2, прибавили первую, умноженную на 3; к третьей строке прибавили первую, умноженную на -2.

Теперь к третьей строке, умноженной на -2+11i, прибавим вторую, умноженную на 1+6i. Получим матрицу

,

которая является матрицей ступенчатого вида. Запишем систему, соответствующую этой матрице.

 

Преобразованная система имеет три уравнения с тремя неизвестными и, значит, единственное решение.

Из третьего уравнения системы х₃=1. Подставляя х₃=1 во второе уравнение, найдем х₂=0. Из первого уравнения х₁=1.

Проверка.

(-3)∙1+(1-i)∙0+i∙1=i-3, 4∙1+0-2i∙1=4-2i. Ответ:х1=1, х2=0, х3=1.

Проверка.

Ответ: х1=-1, х2=2, x3=0. Пример 2. Дана система линейных уравнений