Теоретичні положення

Сукупність логічних елементів, призначена для перетворення двійкових змінних, називається логічною схемою.

Логічні схеми поділяються на послідовні і комбінаційні.

Комбінаційною називається логічна схема, в якій значення вихідних сигналів цілком визначаються значеннями вхідних сигналів, що діють в даний момент часу і не залежать від значень вхідних сигналів, що діяли в попередні моменти часу.

Вважають, що така схема має один стан. Поведінка комбінаційної схеми може бути описана системою перемикальних функцій.

Розрізняють задачі аналізу і синтезу комбінаційних схем.

Задача аналізу комбінаційної схеми зводиться до знаходження системи функцій, що відображають логіку роботи цієї схеми.

Задача синтезу зворотна задачі аналізу, тобто припускає побудову схеми, використовуючи заданий базис логічних елементів.

Синтез комбінаційної схеми логічного пристрою з одним виходом можна розбити на такі етапи:

1) текстовий опис функцій логічного пристрою;

2) складання таблиці істинності за текстовим описом;

3) запис логічного рівняння пристрою у вигляді досконалої нормальної диз’юнктивної форми (ДНДФ) або досконалої нормальної кон’юнктивної форми (ДНКФ);

Cистема булевих функцій, яка містить кон'юнкцію, диз'юнкцію та заперечення, є функціонально повною, і існує загальновживаний (хоч і не завжди оптимальний з точки зору часу виконання) алгоритм представлення будь-якого булевого виразу через ці функції. Алгоритм складається з двох частин:

· побудова таблиці істинності для заданого виразу;

· побудова за таблицею істинності досконалої диз'юнктивної нормальної форми або досконалої кон’юктивної нормальної форми .

Якщо функція уже задана таблицею істинності, перший етап автоматично відпадає, і залишається тільки другий.

Визначення. Елементарною кон'юнкцією називається кон'юнкція булевих змінних, кожна з яких може стояти під знаком заперечення.

Булевий вираз записаний у диз'юнктивній нормальній формі, якщо він являє собою диз'юнкцію елементарних кон'юнкцій.

Диз'юнктивна нормальна форма від n змінних називається досконалою, якщо кожна елементарна кон'юнкція містить всі змінні, можливо з запереченням.

Зазначимо, що крім диз'юнктивних нормальних форм, широко застосовуються нормальні форми іншого типу - кон'юнктивні.

Розглянемо метод побудови ДДНФ за таблицею істинності.

Оскільки ДДНФ, що будується, є булевим виразом, який відповідає заданій таблиці істинності, він повинен приймати значення 1 при тих і тільки тих наборах значень аргументів, при яких у таблиці істинності стоїть 1

4) мінімізація логічного рівняння(використанням законів алгебри логіки або карт Карно);

Алгоритм мінімізації функції перемикання за допомогою карт Карно записується таким чином:

1. Переведення функції перемикання в ДДНФ.

2. Нанесення одиниць на карту Карно.

3. Об’єднання сусідніх одиниць контурами, що охоплюють два, чотири або вісім квадратів.

4. Проведення спрощення, виключаючи члени, які доповнюють один одного всередині контуру.

5. Об’єднання членів, що залишилися (по одному у кожному контурі), функцією АБО.

6. Запис мінімізованої функції перемикання в ДДНФ.

5) вибір одного із логічних базисів для реалізації функціональної схеми;

6) перетворення логічного рівняння з використанням правил де Моргана;

7) побудова функціональної схеми цифрового пристрою.

Приклад 1. Синтезувати логічний пристрій з трьома вхідними змінними, який генерує сигнал “1” на виході, якщо дві підряд змінні приймають значення “1”.

1. Складаємо таблицю істинності.

 

2. Логічне рівняння в виді ДНДФ представляє собою диз’юнкцію

кон’юнкцій тих вхідних наборів, для яких y = 1:

3. Мінімізація логічного рівняння здійснюється шляхом використання

законів алгебри логіки або карт Карно (для трьох змінних):

За законами алгебри логіки:

 

За допомогою карт Карно для 3-х змінних мінімізація даного логічного рівняння виконується наступним чином.

Карта Карно для 3-х змінних має 8 квадратів (1,.., 8) відповідно 8 можливих комбінацій тиаблиці істинності з двома змінними. Розташуємо логічні одиниці у всіх квадратах, яким відповідають добутки у вихідній функції перемикання. Заповнена таким чином карта Карно тепер готова для побудови. Сусідні одиниці об’єднуються в один контур групами по дві, чотири або вісім одиниць. Побудова контурів продовжується до тих пір, поки всі одиниці не опиняться всередині контурів. Кожний контур - це новий член спрощеної функції перемикання. Відмітимо, що в нашому випадку получилось тільки два контури. Це означає, що нова, спрощена функція перемикання буде складатися тільки з двох членів, що пов’язані функцією АБО.

Взявши спочатку нижній контур, замітимо, що тут зустрічаються у комбінації із і . У відповідності із законами алгебри логіки і доповнюють одиг одного і їх можна опустити. В нижньому контурі залишаються тільки .

Аналогічно до цього вертикально розташований контур вміщує і , які теж можна опустити, а і , за законами тавтології замінюються одним .

Тоді підсумкова функція має вигляд

Суттєво, щоб карта Карно була складена саме так, як показано на рисунку. Замітимо, що в міру того, як зміщатись вниз по лівій частині карти, на кожному кроці змінюється лише одна змінна. Зверху зліва записаний добуток , а рядком нижче (заміна ¯x₂ на x₂). Далі, при пересуванні від до вниз переходить в x₁ і т.д. Якщо карту Карно скласти неправильно, то вона не принесе очікуваного результату.

 

4. Функціональну схему реалізуємо в базисі І-НЕ, для цього мінімізоване

рівняння перетворимо по правилу де Моргана:

у базисі І-НЕ

в базисі АБО-НЕ

5. Функціональні схеми логічного пристрою, реалізовані у базисах І-НЕ,

АБО-НЕ, представлені на рис. 1 і рис. 2.