Правила оформления контрольных работ
Правила оформления контрольных работ
1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. На обложке… 2. Решение задач следует располагать в порядке номеров, указанных в задании,… 3. Работы сдаются на проверку до начала следующей сессии за две недели до нее!Распределение заданий
· Записываются только инициалы Фамилии, Имени и Отчества студента, выполняющего задания и две последние цифры из номера студенческого. · Слева направо под инициалами подписываются цифры от 1 до 5 по порядку – это… · Под номерами заявленных тем подписываются номера заданий, которые определяются по буквам инициалов из приведенной…Е) график функции распределения.
2)В колоде осталось 7 карт, из них 3 козырных. Наугад выбирают 4 карты. число взятых козырных карт. Найти вероятность того, что козырных карт будет… 3)Из каждой партии телевизоров для контроля извлекают 4 телевизора и… 4)Котировки акций могут быть размещены в Интернете на трех сайтах. Материал есть на первом сайте с вероятностью 0,7,…Примеры решения типовых задач
| Классическая формула вероятности. Основные теоремы теории вероятностей |
На шести карточках написаны буквы Т И Л А Б Е. найти вероятность того, что, из взятых по порядку пяти карточек можно составить слово «билет».
Решение:
Из данных 6 букв можно составить слова по 5 букв по формуле числа перестановок без повторений:
Поэтому появление слова «билет» определяется:
В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:
а) Все они одного цвета;
б) Все они разных цветов;
в) Среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Решение:
Решение:
Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся в наличии равно:
а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно 
способами;
3 красных из 4 можно 
способами;
3 зеленых из 3 можно 
способами.
По правилу сложения общее число случаев, благоприятствующих событию
равно 
б) 
равно 
в) 
равно 
Для уничтожения колонии паразитов ее обрабатывают последовательно двумя препаратами. Вероятность уничтожения колоний первым препаратом – 0,4; вторым – 0,6, причем их действие независимы.
а) найти вероятность того, что после действия обоих препаратов колония не будет уничтожена.
б) найти вероятность того, что после действия обоих препаратов колония будет уничтожена.
Решение:
События:
колония уничтожится 1-ым препаратом;
колония уничтожится 2-ым препаратом; тогда
–вероятность уничтожения колонии 1-ым препаратом;
–вероятность уничтожения колонии 2-ым препаратом;
Тогда 
вероятность того, что колония не уничтожится 1-ым препаратом;
вероятность того, что колония не уничтожится 2-ым препаратом;
а) Вероятность того, что после действия обоих препаратов колония не уничтожится, учитывая независимость событий, вычисляется по формуле:
б) Вероятность того, что после действия обоих препаратов колония уничтожится, учитывая независимость событий, вычисляется по формуле:
Ответ: а) Р=0,24; б) Р=0,76
Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:
а) все стрелки попадут в цель;
б) только один стрелок попадет в цель;
в) только два стрелка попадут в цель;
г) все стрелки промахнутся;
д) цель будет поражена.
Решение:
Обозначим: событие А – первый стрелок попадет в цель
B – второй стрелок попадет в цель
С – третий стрелок попадет в цель
События A, B, C – независимые.
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
| Полная вероятность. Формула Байеса |
Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик.
Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.
Решение:
Событие 
.
Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке соответственно с вероятностями:
Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком:
По формуле полной вероятности
По формуле Бейеса
Ответ:
Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем первый завод поставляет продукции в три раза больше второго. Доля овощных консервов в продукции первого завода составляет 60%, а второго 70%. Для контроля в магазине взято наугад одно изделие.
а) Какова вероятность того, что это окажутся мясные консервы?
б) Взятое изделие оказалось мясными консервами. Какова вероятность, что оно изготовлено вторым заводом?
Решение:
Обозначим событие 
По условию задачи первый завод поставляет продукции в три раза больше, чем второй, то есть 
в три раза, или 
Вероятность того, что консервы мясные, для первого завода составляет 40%, то есть 
, для второго завода 30%, то есть 
.
а) Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий (гипотез) Нi, образующих полную группу, применим формулу полной вероятности:
б) По условию событие А произошло, то есть взяты мясные консервы. Тогда вероятность гипотезы Н2 – консервы изготовлены вторым заводом – находим по формуле Байеса
Из 27 частных банков нарушения в уплате налогов имеют место 13 банках. Проверяют 3 банка, выбирая их случайным образом из 27 банков. Выбранные банки проверяются независимо друг от друга. Нарушения выявляются с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия банков, допускающих нарушения.
Установлен факт нарушения. Найти вероятность того, что среди выбранных банков оказалось 2 банка, допускающих нарушения.
Вероятность того, что в одном из трех банков будут нарушения: Вероятность того, что в двух из трех банков будут нарушения:Таблица значений локальной функции Лапласа
| х | Сотые доли х | |||||||||
| 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 | ||
| 0,39894 | 0,39892 | 0,39886 | 0,39876 | 0,39862 | 0,39844 | 0,39822 | 0,39797 | 0,39767 | 0,39733 | |
| 0,1 | 0,39695 | 0,39654 | 0,39608 | 0,39559 | 0,39505 | 0,39448 | 0,39387 | 0,39322 | 0,39253 | 0,39181 |
| 0,2 | 0,39104 | 0,39024 | 0,38940 | 0,38853 | 0,38762 | 0,38667 | 0,38568 | 0,38466 | 0,38361 | 0,38251 |
| 0,3 | 0,38139 | 0,38023 | 0,37903 | 0,37780 | 0,37654 | 0,37524 | 0,37391 | 0,37255 | 0,37115 | 0,36973 |
| 0,4 | 0,36827 | 0,36678 | 0,36526 | 0,36371 | 0,36213 | 0,36053 | 0,35889 | 0,35723 | 0,35553 | 0,35381 |
| 0,5 | 0,35207 | 0,35029 | 0,34849 | 0,34667 | 0,34482 | 0,34294 | 0,34105 | 0,33912 | 0,33718 | 0,33521 |
| 0,6 | 0,33322 | 0,33121 | 0,32918 | 0,32713 | 0,32506 | 0,32297 | 0,32086 | 0,31874 | 0,31659 | 0,31443 |
| 0,7 | 0,31225 | 0,31006 | 0,30785 | 0,30563 | 0,30339 | 0,30114 | 0,29887 | 0,29659 | 0,29431 | 0,29200 |
| 0,8 | 0,28969 | 0,28737 | 0,28504 | 0,28269 | 0,28034 | 0,27798 | 0,27562 | 0,27324 | 0,27086 | 0,26848 |
| 0,9 | 0,26609 | 0,26369 | 0,26129 | 0,25888 | 0,25647 | 0,25406 | 0,25164 | 0,24923 | 0,24681 | 0,24439 |
| 0,24197 | 0,23955 | 0,23713 | 0,23471 | 0,23230 | 0,22988 | 0,22747 | 0,22506 | 0,22265 | 0,22025 | |
| 1,1 | 0,21785 | 0,21546 | 0,21307 | 0,21069 | 0,20831 | 0,20594 | 0,20357 | 0,20121 | 0,19886 | 0,19652 |
| 1,2 | 0,19419 | 0,19186 | 0,18954 | 0,18724 | 0,18494 | 0,18265 | 0,18037 | 0,17810 | 0,17585 | 0,17360 |
| 1,3 | 0,17137 | 0,16915 | 0,16694 | 0,16474 | 0,16256 | 0,16038 | 0,15822 | 0,15608 | 0,15395 | 0,15183 |
| 1,4 | 0,14973 | 0,14764 | 0,14556 | 0,14350 | 0,14146 | 0,13943 | 0,13742 | 0,13542 | 0,13344 | 0,13147 |
| 1,5 | 0,12952 | 0,12758 | 0,12566 | 0,12376 | 0,12188 | 0,12001 | 0,11816 | 0,11632 | 0,11450 | 0,11270 |
| 1,6 | 0,11092 | 0,10915 | 0,10741 | 0,10567 | 0,10396 | 0,10226 | 0,10059 | 0,09893 | 0,09728 | 0,09566 |
| 1,7 | 0,09405 | 0,09246 | 0,09089 | 0,08933 | 0,08780 | 0,08628 | 0,08478 | 0,08329 | 0,08183 | 0,08038 |
| 1,8 | 0,07895 | 0,07754 | 0,07614 | 0,07477 | 0,07341 | 0,07206 | 0,07074 | 0,06943 | 0,06814 | 0,06687 |
| 1,9 | 0,06562 | 0,06438 | 0,06316 | 0,06195 | 0,06077 | 0,05959 | 0,05844 | 0,05730 | 0,05618 | 0,05508 |
| 0,05399 | 0,05292 | 0,05186 | 0,05082 | 0,04980 | 0,04879 | 0,04780 | 0,04682 | 0,04586 | 0,04491 | |
| 2,1 | 0,04398 | 0,04307 | 0,04217 | 0,04128 | 0,04041 | 0,03955 | 0,03871 | 0,03788 | 0,03706 | 0,03626 |
| 2,2 | 0,03547 | 0,03470 | 0,03394 | 0,03319 | 0,03246 | 0,03174 | 0,03103 | 0,03034 | 0,02965 | 0,02898 |
| 2,3 | 0,02833 | 0,02768 | 0,02705 | 0,02643 | 0,02582 | 0,02522 | 0,02463 | 0,02406 | 0,02349 | 0,02294 |
| 2,4 | 0,02239 | 0,02186 | 0,02134 | 0,02083 | 0,02033 | 0,01984 | 0,01936 | 0,01888 | 0,01842 | 0,01797 |
| 2,5 | 0,01753 | 0,01709 | 0,01667 | 0,01625 | 0,01585 | 0,01545 | 0,01506 | 0,01468 | 0,01431 | 0,01394 |
| 2,6 | 0,01358 | 0,01323 | 0,01289 | 0,01256 | 0,01223 | 0,01191 | 0,01160 | 0,01130 | 0,01100 | 0,01071 |
| 2,7 | 0,01042 | 0,01014 | 0,00987 | 0,00961 | 0,00935 | 0,00909 | 0,00885 | 0,00861 | 0,00837 | 0,00814 |
| 2,8 | 0,00792 | 0,00770 | 0,00748 | 0,00727 | 0,00707 | 0,00687 | 0,00668 | 0,00649 | 0,00631 | 0,00613 |
| 2,9 | 0,00595 | 0,00578 | 0,00562 | 0,00545 | 0,00530 | 0,00514 | 0,00499 | 0,00485 | 0,00470 | 0,00457 |
| 0,00443 | 0,00430 | 0,00417 | 0,00405 | 0,00393 | 0,00381 | 0,00370 | 0,00358 | 0,00348 | 0,00337 | |
| 3,1 | 0,00327 | 0,00317 | 0,00307 | 0,00298 | 0,00288 | 0,00279 | 0,00271 | 0,00262 | 0,00254 | 0,00246 |
| 3,2 | 0,00238 | 0,00231 | 0,00224 | 0,00216 | 0,00210 | 0,00203 | 0,00196 | 0,00190 | 0,00184 | 0,00178 |
| 3,3 | 0,00172 | 0,00167 | 0,00161 | 0,00156 | 0,00151 | 0,00146 | 0,00141 | 0,00136 | 0,00132 | 0,00127 |
| 3,4 | 0,00123 | 0,00119 | 0,00115 | 0,00111 | 0,00107 | 0,00104 | 0,00100 | 0,00097 | 0,00094 | 0,00090 |
| 3,5 | 0,00087 | 0,00084 | 0,00081 | 0,00079 | 0,00076 | 0,00073 | 0,00071 | 0,00068 | 0,00066 | 0,00063 |
| 3,6 | 0,00061 | 0,00059 | 0,00057 | 0,00055 | 0,00053 | 0,00051 | 0,00049 | 0,00047 | 0,00046 | 0,00044 |
| 3,7 | 0,00042 | 0,00041 | 0,00039 | 0,00038 | 0,00037 | 0,00035 | 0,00034 | 0,00033 | 0,00031 | 0,00030 |
| 3,8 | 0,00029 | 0,00028 | 0,00027 | 0,00026 | 0,00025 | 0,00024 | 0,00023 | 0,00022 | 0,00021 | 0,00021 |
| 3,9 | 0,00020 | 0,00019 | 0,00018 | 0,00018 | 0,00017 | 0,00016 | 0,00016 | 0,00015 | 0,00014 | 0,00014 |
| x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
| 0,00 | 0,00000 | 0,50 | 0,19146 | 1,00 | 0,34134 | 1,50 | 0,43319 | 2,00 | 0,47725 | 3,00 | 0,49865 |
| 0,01 | 0,00399 | 0,51 | 0,19497 | 1,01 | 0,34375 | 1,51 | 0,43448 | 2,02 | 0,47831 | 3,05 | 0,49886 |
| 0,02 | 0,00798 | 0,52 | 0,19847 | 1,02 | 0,34614 | 1,52 | 0,43574 | 2,04 | 0,47932 | 3,10 | 0,49903 |
| 0,03 | 0,01197 | 0,53 | 0,20194 | 1,03 | 0,34849 | 1,53 | 0,43699 | 2,06 | 0,48030 | 3,15 | 0,49918 |
| 0,04 | 0,01595 | 0,54 | 0,20540 | 1,04 | 0,35083 | 1,54 | 0,43822 | 2,08 | 0,48124 | 3,20 | 0,49931 |
| 0,05 | 0,01994 | 0,55 | 0,20884 | 1,05 | 0,35314 | 1,55 | 0,43943 | 2,10 | 0,48214 | 3,25 | 0,49942 |
| 0,06 | 0,02392 | 0,56 | 0,21226 | 1,06 | 0,35543 | 1,56 | 0,44062 | 2,12 | 0,48300 | 3,30 | 0,49952 |
| 0,07 | 0,02790 | 0,57 | 0,21566 | 1,07 | 0,35769 | 1,57 | 0,44179 | 2,14 | 0,48382 | 3,35 | 0,49960 |
| 0,08 | 0,03188 | 0,58 | 0,21904 | 1,08 | 0,35993 | 1,58 | 0,44295 | 2,16 | 0,48461 | 3,40 | 0,49966 |
| 0,09 | 0,03586 | 0,59 | 0,22240 | 1,09 | 0,36214 | 1,59 | 0,44408 | 2,18 | 0,48537 | 3,45 | 0,49972 |
| 0,10 | 0,03983 | 0,60 | 0,22575 | 1,10 | 0,36433 | 1,60 | 0,44520 | 2,20 | 0,48610 | 3,50 | 0,49977 |
| 0,11 | 0,04380 | 0,61 | 0,22907 | 1,11 | 0,36650 | 1,61 | 0,44630 | 2,22 | 0,48679 | 3,55 | 0,49981 |
| 0,12 | 0,04776 | 0,62 | 0,23237 | 1,12 | 0,36864 | 1,62 | 0,44738 | 2,24 | 0,48745 | 3,60 | 0,49984 |
| 0,13 | 0,05172 | 0,63 | 0,23565 | 1,13 | 0,37076 | 1,63 | 0,44845 | 2,26 | 0,48809 | 3,65 | 0,49987 |
| 0,14 | 0,05567 | 0,64 | 0,23891 | 1,14 | 0,37286 | 1,64 | 0,44950 | 2,28 | 0,48870 | 3,70 | 0,49989 |
| 0,15 | 0,05962 | 0,65 | 0,24215 | 1,15 | 0,37493 | 1,65 | 0,45053 | 2,30 | 0,48928 | 3,75 | 0,49991 |
| 0,16 | 0,06356 | 0,66 | 0,24537 | 1,16 | 0,37698 | 1,66 | 0,45154 | 2,32 | 0,48983 | 3,80 | 0,49993 |
| 0,17 | 0,06749 | 0,67 | 0,24857 | 1,17 | 0,37900 | 1,67 | 0,45254 | 2,34 | 0,49036 | 3,85 | 0,49994 |
| 0,18 | 0,07142 | 0,68 | 0,25175 | 1,18 | 0,38100 | 1,68 | 0,45352 | 2,36 | 0,49086 | 3,90 | 0,49995 |
| 0,19 | 0,07535 | 0,69 | 0,25490 | 1,19 | 0,38298 | 1,69 | 0,45449 | 2,38 | 0,49134 | 3,95 | 0,49996 |
| 0,20 | 0,07926 | 0,70 | 0,25804 | 1,20 | 0,38493 | 1,70 | 0,45543 | 2,40 | 0,49180 | 4,00 | 0,49997 |
| 0,21 | 0,08317 | 0,71 | 0,26115 | 1,21 | 0,38686 | 1,71 | 0,45637 | 2,42 | 0,49224 | 4,05 | 0,49997 |
| 0,22 | 0,08706 | 0,72 | 0,26424 | 1,22 | 0,38877 | 1,72 | 0,45728 | 2,44 | 0,49266 | 4,10 | 0,49998 |
| 0,23 | 0,09095 | 0,73 | 0,26730 | 1,23 | 0,39065 | 1,73 | 0,45818 | 2,46 | 0,49305 | 4,15 | 0,49998 |
| 0,24 | 0,09483 | 0,74 | 0,27035 | 1,24 | 0,39251 | 1,74 | 0,45907 | 2,48 | 0,49343 | 4,20 | 0,49999 |
| 0,25 | 0,09871 | 0,75 | 0,27337 | 1,25 | 0,39435 | 1,75 | 0,45994 | 2,50 | 0,49379 | 4,25 | 0,49999 |
| 0,26 | 0,10257 | 0,76 | 0,27637 | 1,26 | 0,39617 | 1,76 | 0,46080 | 2,52 | 0,49413 | 4,30 | 0,49999 |
| 0,27 | 0,10642 | 0,77 | 0,27935 | 1,27 | 0,39796 | 1,77 | 0,46164 | 2,54 | 0,49446 | 4,35 | 0,49999 |
| 0,28 | 0,11026 | 0,78 | 0,28230 | 1,28 | 0,39973 | 1,78 | 0,46246 | 2,56 | 0,49477 | 4,40 | 0,49999 |
| 0,29 | 0,11409 | 0,79 | 0,28524 | 1,29 | 0,40147 | 1,79 | 0,46327 | 2,58 | 0,49506 | 4,45 | 0,50000 |
| 0,30 | 0,11791 | 0,80 | 0,28814 | 1,30 | 0,40320 | 1,80 | 0,46407 | 2,60 | 0,49534 | 4,50 | 0,50000 |
| 0,31 | 0,12172 | 0,81 | 0,29103 | 1,31 | 0,40490 | 1,81 | 0,46485 | 2,62 | 0,49560 | 4,55 | 0,50000 |
| 0,32 | 0,12552 | 0,82 | 0,29389 | 1,32 | 0,40658 | 1,82 | 0,46562 | 2,64 | 0,49585 | 4,60 | 0,50000 |
| 0,33 | 0,12930 | 0,83 | 0,29673 | 1,33 | 0,40824 | 1,83 | 0,46638 | 2,66 | 0,49609 | 4,65 | 0,50000 |
| 0,34 | 0,13307 | 0,84 | 0,29955 | 1,34 | 0,40988 | 1,84 | 0,46712 | 2,68 | 0,49632 | 4,70 | 0,50000 |
| 0,35 | 0,13683 | 0,85 | 0,30234 | 1,35 | 0,41149 | 1,85 | 0,46784 | 2,70 | 0,49653 | 4,75 | 0,50000 |
| 0,36 | 0,14058 | 0,86 | 0,30511 | 1,36 | 0,41309 | 1,86 | 0,46856 | 2,72 | 0,49674 | 4,80 | 0,50000 |
| 0,37 | 0,14431 | 0,87 | 0,30785 | 1,37 | 0,41466 | 1,87 | 0,46926 | 2,74 | 0,49693 | 4,85 | 0,50000 |
| 0,38 | 0,14803 | 0,88 | 0,31057 | 1,38 | 0,41621 | 1,88 | 0,46995 | 2,76 | 0,49711 | 4,90 | 0,50000 |
| 0,39 | 0,15173 | 0,89 | 0,31327 | 1,39 | 0,41774 | 1,89 | 0,47062 | 2,78 | 0,49728 | 4,95 | 0,50000 |
| 0,40 | 0,15542 | 0,90 | 0,31594 | 1,40 | 0,41924 | 1,90 | 0,47128 | 2,80 | 0,49744 | 5,00 | 0,50000 |
| 0,41 | 0,15910 | 0,91 | 0,31859 | 1,41 | 0,42073 | 1,91 | 0,47193 | 2,82 | 0,49760 | ||
| 0,42 | 0,16276 | 0,92 | 0,32121 | 1,42 | 0,42220 | 1,92 | 0,47257 | 2,84 | 0,49774 | ||
| 0,43 | 0,16640 | 0,93 | 0,32381 | 1,43 | 0,42364 | 1,93 | 0,47320 | 2,86 | 0,49788 | ||
| 0,44 | 0,17003 | 0,94 | 0,32639 | 1,44 | 0,42507 | 1,94 | 0,47381 | 2,88 | 0,49801 | ||
| 0,45 | 0,17364 | 0,95 | 0,32894 | 1,45 | 0,42647 | 1,95 | 0,47441 | 2,90 | 0,49813 | ||
| 0,46 | 0,17724 | 0,96 | 0,33147 | 1,46 | 0,42785 | 1,96 | 0,47500 | 2,92 | 0,49825 | ||
| 0,47 | 0,18082 | 0,97 | 0,33398 | 1,47 | 0,42922 | 1,97 | 0,47558 | 2,94 | 0,49836 | ||
| 0,48 | 0,18439 | 0,98 | 0,33646 | 1,48 | 0,43056 | 1,98 | 0,47615 | 2,96 | 0,49846 | ||
| 0,49 | 0,18793 | 0,99 | 0,33891 | 1,49 | 0,43189 | 1,99 | 0,47670 | 2,98 | 0,49856 |
Таблица распределения Пуассона
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 0,9018 | 0,8187 | 0,7408 | 0,6703 | 0,6065 | 0,5458 | 0,4966 | 0,4493 | 0,4066 | ||
| 0,0905 | 0,1638 | 0,2222 | 0,2681 | 0,3033 | 0,3293 | 0,3476 | 0,3595 | 0,3659 | ||
| 0,0045 | 0,0164 | 0,0333 | 0,0536 | 0,0758 | 0,0988 | 0,1217 | 0,1438 | 0,1647 | ||
| 0,0002 | 0,0019 | 0,0033 | 0,0072 | 0,0126 | 0,0198 | 0,0284 | 0,0383 | 0,0494 | ||
| 0,0001 | 0,0002 | 0,0007 | 0,0016 | 0,0030 | 0,0050 | 0,0077 | 0,0111 | |||
| 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0007 | 0,0012 | 0,0020 | |||||
| 0,0001 | 0,0002 | 0,0003 | ||||||||
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,3679 | 0,1353 | 0,0498 | 0,0183 | 0,0067 | 0,0025 | 0,0009 | 0,0003 | 0,0001 | 0,0000 | |
| 0,3679 | 0,2707 | 0,1494 | 0,0733 | 0,0337 | 0,0149 | 0,0064 | 0,0027 | 0,0011 | 0,0005 | |
| 0,1839 | 0,2707 | 0,2240 | 0,1465 | 0,0842 | 0,0446 | 0,0223 | 0,0107 | 0,0050 | 0,0023 | |
| 0,0613 | 0,1804 | 0,2240 | 0,1954 | 0,1404 | 0,0892 | 0,0521 | 0,0286 | 0,0150 | 0,0076 | |
| 0,0153 | 0,0902 | 0,1680 | 0,1954 | 0,1755 | 0,1339 | 0,0912 | 0,0572 | 0,0337 | 0,0189 | |
| 0,0031 | 0,0361 | 0,1008 | 0,1563 | 0,1755 | 0,1606 | 0,1277 | 0,0916 | 0,0607 | 0,0378 | |
| 0,0005 | 0,0120 | 0,0504 | 0,1042 | 0,1462 | 0,1606 | 0,1490 | 0,1221 | 0,0911 | 0,0631 | |
| 0,0001 | 0,0037 | 0,0216 | 0,0595 | 0,1044 | 0,1377 | 0,1490 | 0,1396 | 0,1171 | 0,0901 | |
| 0,0009 | 0,0081 | 0,0298 | 0,0653 | 0,1033 | 0,1304 | 0,1396 | 0,1318 | 0,1126 | ||
| 0,0002 | 0,0027 | 0,0132 | 0,0363 | 0,0688 | 0,1014 | 0,1241 | 0,1318 | 0,1251 | ||
| 0,0008 | 0,0053 | 0,0181 | 0,0413 | 0,0710 | 0,0993 | 0,1186 | 0,1251 | |||
| 0,0002 | 0,0019 | 0,0082 | 0,0225 | 0,0452 | 0,0722 | 0,0970 | 0,1137 | |||
| 0,0001 | 0,0006 | 0,0034 | 0,0126 | 0,0263 | 0,0481 | 0,0728 | 0,0948 | |||
| 0,0002 | 0,0013 | 0,0052 | 0,0142 | 0,0296 | 0,0504 | 0,0729 | ||||
| 0,0001 | 0,0005 | 0,0022 | 0,0071 | 0,0169 | 0,0324 | 0,0521 | ||||
| 0,0002 | 0,0009 | 0,0033 | 0,0090 | 0,0194 | 0,0347 | |||||
| 0,0003 | 0,0014 | 0,0045 | 0,0109 | 0,0217 | ||||||
| 0,0001 | 0,0006 | 0,0021 | 0,0058 | 0,0128 | ||||||
| 0,0002 | 0,0009 | 0,0029 | 0,0071 | |||||||
| 0,0001 | 0,0004 | 0,0014 | 0,0037 | |||||||
| 0,0002 | 0,0006 | 0,0019 | ||||||||
| 0,0001 | 0,0003 | 0,0009 | ||||||||
| 0,0001 | 0,0004 | |||||||||
| 0,0002 | ||||||||||
| 0,0001 |
Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
Решение:
Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей
Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.
Решение:
Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки
Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.
Вычислим 
. Здесь применена теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
Ответ:0,1631
Инвестор решил вложить поровну средств в три предприятия при условии возврата ему каждым предприятием через определенный срок 150% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму. (Красс 10.11)
Решение:
Всего 
– количество предприятий.
Пусть 
сумма, вложений в каждый банк, т.е. общая сумма вложений инвестора составляет 
В лучшем случае инвестор получит после срока доход в 
.
Вероятность банкротства для каждого предприятия 
тогда 
Чтобы не потерять вложенную сумму рассмотрим случаи, когда не больше чем одно предприятие претерпит банкротство:
Стрелок поражает цель с вероятностью 0,7. С какой вероятностью в серии из 5 выстрелов он поразит мишень:
а) ровно два раза;
б) хотя бы один раз;
в) не менее четырех раз.
г) найти наивероятнейшее число попаданий.
Пусть стрелок делает 20 выстрелов с той же вероятностью попадания. Какова вероятность того, что стрелок поразит цель только в половине случаев? С какой вероятностью число попаданий будет не менее 12 и не более 18?
Решение:
По условию задачи: 
Вероятность промаха 
а) Вероятность попадания ровно два раза в серии из пяти выстрелов находим по формуле Бернулли, так как число испытаний n = 5 невелико 
б) Событию D – «стрелок поразит мишень хотя бы 1 раз», – противоположно событие 
– «не поразит ни разу», то есть стрелок промахнется все пять раз, следовательно, число попаданий 
:
в) Событие «стрелок поразит мишень не менее четырех раз» запишем в виде: 
, тогда
Используя формулу Бернулли, найдем:
г) Наивероятнейшее число попаданий 
находим как целое число из промежутка:
Соответствующую ему вероятность 
вычислим по формуле Бернулли. В данной задаче она уже была найдена выше: 
Во второй части этой задаче число испытаний 
достаточно велико, поэтому используем приближенные формулы Лапласа.
Число попаданий равно половине из 20, то есть
Соответствующую вероятность находим по локальной формуле Лапласа:
Результат вычислений для 
округляем с точностью до 0,01, так как значения функции 
табулируются в приложении 1 с такой точностью. По таблице приложения 1, учитывая четность функции , находим:
Вероятность того, что число попаданий будет не менее 12 и не более 18, вычисляем по интегральной формуле Лапласа:
Значения для 
и 
округляем до 0,01, так как таблица значений функции Лапласа Ф(x) предусматривает такую точность для x. По таблице приложения 2, учитывая нечетность функции Ф(x), находим: 
Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?
Решение:
Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» 
Применяя пуассоновское приближение с 
, получаем
| Случайные величины и их числовые характеристики |
Дан закон распределения ДСВ
| 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Найти:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) Функцию распределения 
е) 
ж) 
з) Построить график распределения
Решение:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) Функцию распределения
е) 
ж) 
Дана функция распределения ДСВ
Найти:
а) Закон распределения
б)
в)
г) 
д) 
е) 
Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого заемщика. Найти математическое ожидание невозврата кредитов по данным:
|
| ||||||
|
| 0,32768 | 0,4096 | 0,2048 | 0,0512 | 0,0064 | 0,00032 |
Решение:
Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж
автомашин в течение дня подчиняется закону распределения:
|
| ||||||||||
| 0,25 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,025 | 0,025 |
Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден. ед. , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ежедневной продажи числа автомашин.
Решение:
Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле:
Тогда
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
А) основная литература
- Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы естествознания. – 2-е изд. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика. / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 656 с.
- Айвазян, С.А. Прикладная статистика в задачах и упражнениях / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 270 с.
- Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.Е. Гмурман. – 6-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
- Пехлецкий, И.Д. Математика. 4-е издание/ И.Д. Пехлецкий. – М.: Академия, 2007. (в библиотеке ЧИЭП)
- Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам/ Д.Т. Письменный. – 5-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2010. – 288 с.
- Турецкий, В.Я. Математика и информатика. Учебник. 3-е издание/ В.Я. Турецкий. – М.: ИНФРА–М, 2008. (в библиотеке ЧИЭП)
Б) дополнительная литература
- Агапов, Г.И. Задачник по теории вероятностей: Учебное пособие для вузов. – 2-е издание/ Г.И. Агапов. – М.: Высшая школа, 1996.
- Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1,2/А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. – М.: Высшая школа, 1982.
- Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами: Учебное пособие/ А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2002.
- Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.А. Колемаев, Каменина В.Н. – М.: ИНФРА-М, 1997.
- Леман, Э. Проверка статистических гипотез/ Э. Леман, А.В. Прохоров. – М.: Наука, 1979.
- Мироненко, Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей/ Е.С. Мироненко. – М.: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2002. (в библиотеке ЧИЭП)