Становление модальной логики, нормальные модальные исчисления.

Первая логическая теория, исследующая выводы из мод. высказываний, была создана Аристотелем. Язык аристотелевской силлогистики содержал аподиктические высказывания(о необходимо присущем и о необходимо не присущем) и проблематические высказвания(о возможно присущем и возможно не присущем). Аристотель различал 2 вида модальностей возможно – одна из них сродни современному пониманию возможно, другая сродни современному пониманию случайно. Для проверки силлогизмов, содержащих внешнюю модальность, схоласты сформулировали специальное правило: модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по модальности посылке. Самой сильной модальностью являлась необходимость, второй по силе – модальность ассерторического высказывания, а самой слабой – возможность. Была идея построить модальную логику Лукасевича –А А А

1 1 1

1/2 0 1

0 0 0

Парадокс мод. логики: АВ, А

пример парадокса: число планет =9, 9 необходимо > 7

число планет необходимо > 7

Но мы знаем, что число планет не необходимо >7.

Льюис – предтеча мод. логики. Он хотел отказаться от . ¬ (А&¬В) – строгая . А¬(А¬А). А¬АА. Но парадокс остался: А(ВА); ¬А(АВ).

Нормальные сис-мы пропозициональной модальной логики. Пропозициональной – т.к не будем рассматривать мод. логику предикатов. Нормальные – такие сис-мы, в которых действует правило Гёделя: ˫А если бы было А , то АА

˫ А А

Геделю удалось переформулировать льюисовское исчисление S4.

A¬ ¬A;

A¬ A&¬ ¬A; A¬ ¬ A

Аксиомы:

1)аксиома теории к

2)теория Т. К+Т=Т

3)К+D=D – деонтические модальности.

4)S4+T=S4

5)S5+T=S5

6)T+B=B(сис-ма Брауэра)

6 основных сис-м мод. логики. S4 – одна из самых распространенных. Эквивалентные преобразования в этой сис-ме: … С; …. С С. В этой сис-ме конечное количество модальностей: ¬, ¬, ¬ ,¬ , ,

S5: C C

Правила- модус поненс и правило Гёделя.