Семантика возможных миров для нормальных модальных исчислений.
При построении семантики алетической мод. логики мощную эвристическую роль сыграла восходящая к Лейбницу идея возможных миров. Согласно Лейбницу, окружающая нас реальность – действительный мир – не является единственно возможным. Мы можем представить себе иную реальность, в которой какие-то ситуации, отсутствующие в нашем мире, имеют место, а некоторые, имеющие место в нашем мире, отсутствуют. Лейбниц считал действительный мир наилучшим из возможных. Семантика Крипке( формулируются условия истинности и ложности мод. ф-л). w0 – данный, действительный мир, wn – возможный мир(такое скопление фактов, которое представляется возможным). w0R wn – отношение достижимости мира wn из мира w0. А w0
А w1 А w2
Модельная структура - <W, w0,R2,I>
1)W
. 2) w0
W(наш мир один из возможных). 3)R
W2 - W
W(<w0,w1>,<w0, w2>)
4)I2(P(ф-ла в возможном мире), w){и,л} т.е. I:{p}W
{и,л}. I – ф-ция оуенки для произвольных формул(ф-ция приписывания значений).
|p|w=и
I(p,w)=и. аналогичные условия истинности и ложности для &,¬, ˅. |A
B|w=и|A|w=и
|B|w=и|A|w=л
|B|w=и.
| А|w=и
w1(wRw1|A|w1=и). Аналогично задаются условия истинности и ложности для других формул. Ф-ла истинна в модельной структуре <W, w0,R2,I> е.и.т.е она и в выделенном действительном мире w0.Ф-ла общезначима, если она истинна в любой модельной структуре. Все это семантика для сис-мы К. Адекватные семантики для других нормальных модальных систем могут быть получены за счет наложения доп. ограничений на отношение достижимости R в модельных структурах <W, w0,R2,I>. Доп.ограничения:
Т-рефлексивность 
wR(w,w) – любой мир достижим из самого себя.
D – сериальность 
1
w2R(w1,w2)
S4 – рефлексивность + транзитивность. wR(w,w);
w1w2w3((R (w1,w2)&R(w2,w3))R(w1,w3))
S5 – рефлексивн.+симметричность+транзитивность.
w1w2(R(w1,w2)R(w2, w1))
B – рефлексивность + симметричн.
˫тАǀ=тА; ˫т ААǀ=т АА – семантика адекватна исчислению, доказуемые в исчислении ф-лы являются законами мод. логики.| AA|w0=и – имеет место в любой модельной структуре.