Принципы построения многозначных логик. Основные виды многозначных логик.
Методы построения многозначной логики: С-множество пропозициональных связок.
fc – истинностная ф-ция, соответствующая связке с
С. V-непустое множество значений. V= {и,л} – классическая логика. V={1,1/2, 0} – логика Лукасевича.Если это множество содержит конечное число к истинностных оценок, то соответствующая многозначная логика наз-ся конечнозначной, а именно к- значной. Если же множество возможных истинностных значений формул в сис-ме многозначной логики бесконечно, то это бесконечнозначная логика. D – подмножество V, называемое «множества выделенных значений». D
V. D={и} – в классич.логике. В многозначных логиках может быть много степеней истины. DL3={1}. ᶷ:{Ф(ф-лы)}
V(значение). Ф-ция ᶷ ставит в соответствие ф-ле ее значение. Это таблицы истинности в классической логике. < V,D,{fc:c
},ᶷ> - способ задания логики. ǀ=А
ᶷ(А)D. Aǀ=B
ᶷ (ᶷ(A)Dᶷ(B)D). D={и} – в классической логике. <{и,л},{и},{f¬, f&, f˅, f
},ᶷ2 > - задание классической логики. ᶷn
V. ᶷ2(¬A)=и
ᶷ2(А)=л.
ᶷ2(¬А)=лᶷ2(А)=и. – в классической логике.
Если число возможных значений формул велико, то ф-ции удобнее задавать аналитически, именно с этой целью в кач-ве истинностных оценок в многозначной логике используются числа: в таком случае пропозициональные связки интерпретируются как знаки операций над числами. Например, связке ¬ в L3 соответствует операция вычитания аргумента из 1(т.е числовая ф-ция 1-х).
¬(отрицание):
1)позволяет упростить процесс построения многозначных логик
2)подходит для построения любых логик.
3)дает обобщение понятий.
Конечно-значная логика Лукасевича имеет к значений, при этом к>2, V3={1,1/2,0}.Бесконечнозначная логика Лукасевича n/k, n – рациональные числа, k-кол-во значений. 1
2/3
1/3
2/3 истинней чем 1/3. 1/3 почти ложна, это все степени истины.
Э.Пост сформулировал много многозначных логик. Одна из многозначных логик Поста – сис-ма Р3, в которой имеется 3 возможных значения ф-л – 1,1/2, 0 и лишь одно из них – 1 является выделенным. Исходными пропозициональными связками у Поста являются ¬ и ˅. Семантическое определение ˅ в Р3 такое же, как в L3(логика Лукасевича), но отрицание задается иным образом: А ¬А
1 ½
½ 0
0 1
Отрицание в системах Поста наз-ся циклическим, оно в отличие от диагонального отрицания в лог. Лукасевича, не удовлетворяет принципу преемственности многозначной логики по отношению к двузначной: на классическом аргументе 1 циклическое отрицание принимает не то же самое значение, что в классической логике.Это обстоятельство приводит к следствию, отличающему Р3 от L3: некоторые законы логики Поста(содержащие связки ˅, ¬) необщезначимы в классической логике. Важным свойством 3-ехзначной логики Поста является тот факт, что ее исходные операторы ¬ и ˅ составляют функционально полную систему связок, т.е с их помощью можно представить любую ф-цию истинности, заданную на множестве {1, ½,0}. Свойство функциональной полноты исходной системы связок характерно для любой n-значной логики Поста. В логике Поста & и ˅ как в L3. Aǀ=¬¬A. Закон ǀ=¬¬¬(р˅¬р˅¬¬р) – появ. новый закон.
Основные виды многозначных логик – конечнозначные и бесконечнозначные. Множество возможных значений ф-л(V) в к-значной логике Lk задается следующим образом:V={0,1/k-1, 2/k-1….,k-2/k-1, 1}. Например в 5-значной логике V={0,1/4,2/4,3/4,1}.Бесконечнозначные логики Лукасевича могут быть счетнозначными и континуальнозначными. Счетнозначные – значениями ф-л считают все рациональные числа(числа, которые можно представить в виде дроби n/m, в замкнутом интервале [0,1]. Поскольку множество рацион. чисел счетно, то соответствующая многозначная логика наз-ся счетнозначной. Континуальнозначные – V= множеству действительных чисел(как рацион., так и иррациональных) в интервале [0,1]. Данное множество не является счетным и имеет мощность континуума. Во всех многозначных логиках Лук. и в Lk и в L
- имеется лишь одно выделенное значение – значение 1. Lk является подсистемой логики Lm(т.е включается по классу теорем) е.и.т.е к-1/m-1(делится нацело).
Паранепротиворечивые и параполные логики.
некоторые законы классич. логики:
1)А&¬Аǀ=В(противоречие влечет все что угодно)
2)Вǀ=А˅¬А(закон исключенного третьего вытекает из чего угодно).
Теория – это множество фрмул, обладающих следующими свойствами:
1)АТ и ВТ (А&В)Т
2)А˅ВТ АТ или ВТ
3)АТ и А˫ВВТ(замкнутость относительно выводимости).
Теория наз-ся тривиальной(е.и.т.е)
А(АТ) – любая ф-ла принадлежит Т.Непротиворечивая теория Т
А(АТ и ¬АТ). Любая противоречивая теория является тривиальной, если она основана на классич. логике.Док-во:
+1.
А(АТ и ¬АТ)
2. АТ и ¬АТ - 
и:1
3.А&¬АТ – из 2 по опр теории(свойство 1)
4. А&¬А˫В – дедуктивный принцип к(классической логики)-(1)
5. А&¬АТ & А&¬А˫В – из 3,4 по &в
6.ВТ – из 5 по опр теории(3 пункт)
7.В(ВТ) - 
в:6, В – а.о.
8.
А (АТ и ¬АТ)
В(ВТ) - в:1
Противоречивые, но не тривиальные теории наз-ся паранепротиворечивыми. Примером паранепротиворечивой теории явл. логика парадокса Приста(LP). Условия истинности &,˅,¬ - как в лог. Лукасевича.D={1,1/2}.1-и(t), ½-b (Both) – и и л.0-л(f). A(ǀ=LPA ǀ=kA) – т.е все законы логики парадокса Приста являются законами классич логики.
А&¬Аǀ=В. Не действует Модус Поненс.
Логика Клини – это параполная логика, т.к она позволяет рассуждать в условиях неполной информации.¬,˅,& - как в L3.V={t,n,f}. none – ни то, ни другое. к t n f
t t n f
n t n n
f t t t
AkB¬A˅B. если D={1} в этой логике, то в логике нет теорем, она пустая. А&¬Аǀ=кВ; Вǀ=кА˅¬А