Дробные реплики

Число опытов в полном факторном эксперименте быстро возрастает с ростом числа факторов. Так, при трех факторах имеем 23=8 опытов, при пяти факторах – 25=32 опыта, а при 8 факторах уже 28=256 опытов. Это вызывает необходимость разработки методов отбора части переменных, наиболее существенно влияющих на параметр оптимизации. Поэтому, хотя полный факторный план 2К является удобным с точки зрения простоты проведения анализа параметров функции регрессии, тем не менее, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. При трех и более факторах количество опытов можно существенно сократить за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Для этого вместо плана 2К следует использовать дробный факторный план 2К-Р (2К-Р≥К+1), который предназначен для реализации 2К-Р опытов [3, 4].

5.2. Минимизация числа опытов

Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум. Так получают ½ реплики (полуреплику), ¼ реплики (четвертьреплику) и т.д.

Линейная функция регрессии, зависящая от трех факторов, выглядит так:

(1)

Для оценки четырех коэффициентов , , , требуется провести четыре опыта, а проведение полного факторного эксперимента, состоящего из восьми опытов, позволяет оценить не только общее среднее и главные эффекты , , , но также и всевозможные взаимодействия (первого и второго порядков), т.е. все параметры неполной кубической модели, содержащей восемь коэффициентов:

(2)

Восемь опытов, поставленных для оценки коэффициентов линейной модели (1), будут содержать в два раза больше информации, чем требуется.

Для оценки параметров функции регрессии (1) можно построить план, предназначенный для проведения не восьми, а четырех опытов. Для этой цели факторы х1 и х2 следует варьировать, как в плане 22, а в качестве уровня фактора х3 нужно выбрать значение взаимодействия, т.е. х3= х1х2. Получим план, определяемый матрицей, приведенной в табл.1.

 

Таблица 1

 

№ опыта Матрица плана
х0 х1 х2 х1х2 у
+1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 у1 у2 у3 у4

 

5.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты

Рассмотрим вопрос построения дробных реплик более подробно. Вернемся к функции регрессии (2). Матрица плана этой модели приведена в таблице 2.

Рассмотрим эту таблицу более внимательно и обратим внимание, что второй столбец таблицы совпадает с девятым, третий – с восьмым, четвертый – с седьмым, пятый – с шестым. Следовательно, при использовании этого плана нет различий между х0 и х1х2х3, х1 и х2х3, х3 и х1х2, т.е.

х0=х1х2х3, х1=х2х3, х3=х1х2 (3)

 

Таблица 2

 

№ опыта Матрица плана
х0 х1 х2 х3 х1 х2 х1 х3 х2 х3 х1 х2 х3
+1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1

На этом основании можно утверждать, что вместо отыскания оценок восьми параметров функции регрессии (2) можно найти оценки лишь четырех смешанных коэффициентов:

b0+b123; b1+b23; b2+b13; b3+b12. (4)

При этом главные эффекты, включая общее среднее, оцениваются независимо друг от друга, но смешиваются соответственно с эффектами взаимодействий второго и первого порядка. Если постулируется линейная модель (1), то эффекты взаимодействий считаются незначительными, а смешанные коэффициенты (3) превращаются в параметры модели (1).

Таким образом, полный факторный эксперимент 23 при постулировании линейной модели можно рассматривать как совокупность двух полуреплик. Представленный в табл.2 план называют полурепликой или планом 23-1, полученным из полного факторного плана 23 путем приравнивания единице произведения х1 х2 х3, т.е.

х1 х2 х3=1 (5)

Это соотношение называется определяющим для заданной полуреплики. Другая полуреплика 23-1 получится из определяющего соотношения х1 х2 х3= -1, т.е. если уровни фактора х3 устанавливать в соответствии с равенством х3=-х1х2.

При построении полуреплики 23-1 существует всего две возможности: приравнять х3 к +х1х2, или к -х1х2. Поэтому есть только две полуреплики 23-1 (табл.3).

Таблица 3

I. х3=х1х2 II. х3=-х1х2

 

№№ опытов х1 х2 х3 х1 х2 х3 №№ опытов х1 х2 х3 х1 х2 х3
+ - + - + - - + + + - - + + + + + - + - + - - + - - + + - - - -

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение: +1= х1х2х3, а матрицы II: -1= х1х2х3. Отсюда видно, что все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны +1, а во втором -1.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или -1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Для того, чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если +1=х1х2х3, то для х1 имеем х1=х12х2х3=х2х3, так как всегда хi2=1. Для х2 находим х2=х1х22х3= =х1х3, для х3 будет х3=х1х2х32=х1х2.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

b1→β1+β23, b2→β2+β13, b3→β3+β12.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением. Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы обозначают 2III3-1.

Выводы

Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количества факторов. Так, при исследовании влияния трех факторов можно сократить в два раза число опытов, применяя реплику дробности (четыре опыта вместо восьми). Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее правило: для того, чтобы сократить число опытов, вводя в планирование новый фактор, нужно поместить этот фактор в вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2m раз, где m=1, 2, 3, 4, ..., называются регулярными. Они пользуются большой популярностью, так как позволяют производить расчет коэффициентов уравнения так же просто, как и в случае полного факторного эксперимента.

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействий. Чтобы определить систему смешивания, необходимо знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения. Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения любых столбцов, равных ±1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения. Например, если имеются следующие генерирующие соотношения: х1=х2х3, х2=х1х3, х3=х1х2, то определяющий контраст будет 1= х1х2х3.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью. Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала». Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной реплике. С ростом числа факторов быстро увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщающими определяющими контрастами, которые получаются перемножением по два, по три и т.д. исходных определяющих контрастов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Для чего необходимо использование дробных реплик?

2. Как выполняется минимизация числа опытов?

3. Дайте определение генерирующим соотношениям и определяющим контрастам.