Основные определения

Под моделью понимается вид функции отклика

.

Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать её уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но как выбрать модель?

Для решения этого вопроса построим сначала геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами. В случае многих факторов геометрическая наглядность теряется, и при этом попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыка ориентирования. Приходится переходить на язык алгебры. Тем не менее, простые примеры, которые будут рассмотрены, помогут при работе со многими факторами.

Ставится задача: геометрически изобразить возможные состояния «черного ящика» с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с Декартовой системой координат. По одной оси координат в некотором масштабе откладываются значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – второго. Тогда каждому состоянию «черного ящика» будет соответствовать точка на плоскости.

Для факторов существует область определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальные и максимальные возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика» (рис. 1).

Рис.1. Область определения факторов

 

Пунктирными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения.

Чтобы указать значение параметра оптимизации, требуется ещё одна ось координат. Если её построить, то поверхность отклика будет выглядеть как на рис.2 .

Рис.2. Поверхность отклика

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При более двух факторах поверхность отклика нельзя изобразить наглядно и тогда приходится переходить на язык алгебры.

Но для двух факторов можно не переходить к трёхмерному пространству, а ограничиться плоскостью. Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости Х­­­­₁0Х₂, и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость. Так строят, например, изображения гор и морских впадин на географических картах (рис.3).

Рис.3. Проекция сечений поверхности отклика на плоскость:

а – поверхность отклика, полученная путем проекции сечений на плоскость;

б – получение замкнутых кривых путем проекции сечений

(изображение гор и впадин на картах)

 

Точка М на рис.3 – это и есть та оптимальная точка, которую необходимо найти. Каждая замкнутая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.

После того, как рассмотрели вопрос о представлении поверхности отклика, необходимо перейти к основному вопросу: как ставить эксперимент, чтобы найти оптимум при минимуме затрат? Это прежде всего вопрос стратегии.

При наличии таблицы, в которой содержались бы все возможные состояния объекта и соответствующие им отклики, то отпала бы необходимость в построении математической модели. При этом было бы выбрано то состояние, которое соответствует наилучшему отклику. Но при наличии большого перебора возможных состояний вынуждены отказаться от практической реализации этой возможности.

Другая возможность – случайный выбор некоторого числа состояний и определение откликов в них, в надежде, что среди этих состояний окажутся оптимальное или близкое к нему состояния. Но такая интересная возможность маловероятна и не вписывается в нашу тему.

Наконец, третья возможность – строить математическую модель, чтобы с её помощью предсказывать значения откликов в тех состояниях, которые не изучались экспериментально. Если нет возможности измерить отклик в каждом состоянии, то сумеем хотя бы предсказать результат. Причем даже не в каждом состоянии, а только в наиболее интересных, в тех, которые приближаются к оптимальному.

Такая стратегия приводит нас к шаговому принципу, лежащему в основе рассматриваемого метода планирования эксперимента.