Своп как NPV денежных потоков
Второй вариант оценки стоимости свопа предполагает подбор ставки свопа таким образом, чтобы NPV потока платежей по свопу было равно нулю. Справедливо оцененный своп не дает преимуществ ни одной стороне.
При определении стоимости свопа мы имеем дело с двумя денежными потоками (в терминах компании АА):
1. CIF по фиксированной стороне свопа; и
2. COF по плавающей стороне свопа.
Посмотрев на карту денежных потоков по свопу можно увидеть, что он представляет собой PV денежных выплат за соответствующие сроки. Учитывая, что для получателя фиксированной ставки денежные притоки в бюджеты соответствующих лет идут по фиксированной ставке, а оттоки по плавающей, определение стоимости свопа можно свести к стандартной задаче определения NPV, где определяется разница между PV денежных притоков (CIF) и PV денежных оттоков (COF).
Денежный поток по фиксированной стороне легко определить, имея набор облигаций зеро. Сложнее обстоит дело с плавающей стороной: будущие ставки процента неизвестны. Тем не менее, и здесь можно рассчитать CF. Только в этом случае используются не неизвестные нам будущие ставки спот, а известные в настоящее время форвардные ставки.
Оценка неизвестных плавающих ставок (i) должна строиться на неизвестных, но ожидаемых (рисковых) ставках, а оценка форвардных ставок (f) – на основе известных, безрисковых ставок. Ранее говорилось, что на эффективном рынке при отсутствии арбитражных возможностей единственной правильной (несмещенной) оценкой будущих цен (в данном случае цен кредита) является оценка на основе именно безрисковых ставок.
Оценка свопа на основе форвардных ставок, а не ставок спот кажется довольно произвольной. Ведь если есть ставки спот, то зачем оценивать своп по форвардным ставкам, которые, к тому же, вычисляются по тем же ставкам спот? Однако основания для этого имеются:
1. если следовать гипотезе эффективности рынка, то форвардные ставки являются наилучшими прогнозными ставками;
2. плавающие выплаты по свопу хеджируются своповыми дилерами, а такое хеджирование осуществляется с помощью FRA или фьючерсов, которые, в свою очередь, оцениваются именно по форвардным ставкам.
Общая формула оценки свопа на основе форвардных ставок будет выглядеть следующим образом:
NPV = PVCIF - PVCOF
wn – ставка n-периодного свопа;
fi – форвардная ставка i-го периода;
Ai – основная сумма i-го периода;
ti – точное время i-го периода;
zi – облигация зеро i-го периода.
В случае простого процентного свопа плавающие выплаты совпадают с выплатами по форвардной ставке, а основная сумма (A) свопа одинакова для всех периодов.
Продолжим предыдущий пример. Напомним условия:
1. Простой пятилетний процентный своп: T=5;
2. Базовая сумма – А=10 млн.$;
3. Выплаты раз в год;
4. Все промежутки времени t1=t2=…tn=1 равны единице и, следовательно, равны друг другу.
Таблица 2. Стоимость простого процентного свопа
| T | r | z | f | w | f∙z | A | PV основного капитала A∙z | PV плавающих выплат (A∙ f )∙z |
| 7,00% | 0,9346 | 7,00% | 7,00% | 0,0654 | 10 000 000 | 9 345 794,39 | 654 205,61 | |
| 7,25% | 0,8694 | 7,50% | 7,24% | 0,0652 | 10 000 000 | 8 693 714,99 | 652 079,41 | |
| 7,50% | 0,8050 | 8,00% | 7,48% | 0,0644 | 10 000 000 | 8 049 605,70 | 644 109,29 | |
| 7,75% | 0,7419 | 8,50% | 7,70% | 0,0631 | 10 000 000 | 7 418 752,53 | 630 853,16 | |
| 8,00% | 0,6806 | 9,01% | 7,92% | 0,0613 | 10 000 000 | 6 805 831,97 | 612 920,56 | |
| Итого | 4.0314 | 0,3194 | 40 313 699,58 | 3 194 168,03 | ||||
| NPV |
Мы уже нашли ставку свопа через набор облигаций зеро.
Оказалось, что w5=7.9233%.
Теперь найдем ту же ставку свопа с использованием форвардных ставок.
Напомним, что форвардные ставки можно найти через известные ставки зеро:
При расчете форвардных ставок нужно учесть, что для 1-го периода форвардная ставка равна ставке спот, т.е. f0x1 = r1.
Поскольку справедливая стоимость свопа должна быть равна нулю, то отсюда легко можно найти справедливую ставку свопа – wn:
где PVBase – суммарная стоимость PV основного капитала
Для простого процентного свопа формула упрощается и ее можно записать в следующем виде:
Отсюда вытекает, что ставка простого процентного свопа – это средневзвешенное арифметическое (центр тяжести) форвардных ставок. Взвешивание осуществляется по облигациям зеро.
Таблица 3. Ставка простого процентного свопа
| T | r | z | f | f∙z | w |
| 7,00% | 0,9346 | 0,0700 | 0,0654 | ||
| 7,25% | 0,8694 | 0,0750 | 0,0652 | ||
| 7,50% | 0,8050 | 0,0800 | 0,0644 | ||
| 7,75% | 0,7419 | 0,0850 | 0,0631 | ||
| 8,00% | 0,6806 | 0,0901 | 0,0613 | 7,9233% | |
| Итого | 4,0314 | 0,3194 |
Мы снова получили известную нам ставку. То, что эта ставка является справедливой можно легко проверить. Если взять за основу эту ставку, то окажется что чистая стоимость нашего свопа NPV=0.
Таблица 4. Стоимость простого процентного свопа
| T | r | z | w | f | Фиксированные выплаты (Ai∙w5) | Плавающие выплаты (Ai∙fi) | PV фиксированных выплат (Ai∙w5∙zi) | PV плавающих выплат (Ai∙fi∙zi) |
| 7,00% | 0,9346 | 7,00% | 0,0700 | 792 328,18 | 700 000,00 | 740 493,63 | 654 205,61 | |
| 7,25% | 0,8694 | 7,24% | 0,0750 | 792 328,18 | 750 058,41 | 688 827,54 | 652 079,41 | |
| 7,50% | 0,8050 | 7,48% | 0,0800 | 792 328,18 | 800 174,96 | 637 792,94 | 644 109,29 | |
| 7,75% | 0,7419 | 7,70% | 0,0850 | 792 328,18 | 850 349,38 | 587 808,67 | 630 853,16 | |
| 8,00% | 0,6806 | 7,92% | 0,0901 | 792 328,18 | 900 581,39 | 539 245,25 | 612 920,56 | |
| Итого | 4.0314 | 3 194 168,03 | 3 194 168,03 | |||||
| NPV |
Определение справедливой ставки свопа актуально при создании нового свопа. Если же нужно оценить уже имеющийся своп, то задача меняется на обратную: теперь по известной ставке свопа и набору облигаций зеро нужно определить NPV свопа. Причем NPV реального свопа только случайно может оказаться равной нулю.
Если сразу после заключения свопа кривая ставок процента параллельно сдвинулась на 1 bp, то картина будет следующей:
Таблица 5. Стоимость простого процентного свопа после сдвига кривой доходности на 1 bp
| T | r | z | f | w | Фиксированные выплаты (до изменения) (Ai∙w5) | Плавающие выплаты (Ai∙fi) | PV фиксированных выплат (Ai∙w5∙zi) | PV плавающих выплат (Ai∙fi∙zi) |
| 7,01% | 0,9345 | 0,0701 | 7,01% | 792 328,20 | 701 000,00 | 740 424,45 | 655 078,96 | |
| 7,26% | 0,8692 | 0,0751 | 7,25% | 792 328,20 | 751 058,41 | 688 699,12 | 652 827,03 | |
| 7,51% | 0,8047 | 0,0801 | 7,49% | 792 328,20 | 801 174,94 | 637 615,00 | 644 734,30 | |
| 7,76% | 0,7416 | 0,0851 | 7,71% | 792 328,20 | 851 349,35 | 587 590,52 | 631 360,60 | |
| 8,01% | 0,6803 | 0,0902 | 7,9332% | 792 328,20 | 901 581,34 | 538 995,68 | 613 317,11 | |
| Итого | 4,0303 | 3 193 324,77 | 3 197 318,00 | |||||
| NPV | (3 993) |
Стоимость свопа для фиксированной стороны поднялась с нуля до 3’993$.
При параллельном сдвиге кривой доходности уменьшилась PV фиксированных выплат, что и не удивительно. Но более интересно то, что PV плавающих выплат не только не уменьшилась, но даже возросла. Форвардные ставки изменились на большую величину, чем ставки спот.
При возрастающей кривой доходности форвардные ставки растут быстрее, чем ставки свопа и ставки процента.
При падающей кривой доходности форвардные ставки падают быстрее, чем ставки свопа и ставки процента.
[1] На самом деле тик для фьючерсов составляет половину базисного пункта, т.е. 0.005% и стоимость тика .