Линейный коэффициент корреляции

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон (англ.)русск. в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле^[10][8]:

где , — среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы^[11].

ДоказательствоЛинейный коэффициент корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости:где — коэффициент регрессии, — среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака^[12].

Для графического представления подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или (тау) Кендалла. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когда связь между ними линейна (однонаправлена).

32 Интерпритация коэффициента корреляции-Корреляция не является показателем зависимости одного фактора от другого, а лишь устанавливает их совместную вариативность. То обстоятельство, что два признака изменяются согласованно, может зависеть и от влияния третьей причины на оба сопоставляемых признака. Пример.Пусть имеются два ряда случайных чисел (две переменные с набором значений):

Х: 0 4 2 6 6 2 9 8 5 3

У: 8 9 1 0 5 2 4 6 7 1

Для этих рядов, никак между собой не связанных, коэффициент корреляции очень близок к нулю, и равен r = 0,006.

Ошибка при интерпретации коэффициента корреляции может быть допущена, когда в выборке присутствуют аномальные значения (очевидно большие или очевидно низкие). Они могут возникать, во-первых, из-за неоднородности исследуемых элементов выборки. Во-вторых, - из-за ошибок. Термин «корреляция» впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье. В статистику указанный термин ввел английский биолог и статистик Ф. Гальтон. Корреляционный анализ – это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции, двумерной описательной статистики, количественной меры взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных. Таким образом, это совокупность методов обнаружения корреляционной.

34. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента. Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:1) Сопоставать каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.3) Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

35.Коэффициенты ранговой корреляции Кендалла. Исходные данные представляют собой две выборки, каждая из которых содержит n последовательных и несвязанных рангов, т.е. чисел от 1 до n. Кендалл построил свой коэффициент корреляции на количестве пар рангов, которые упорядочиваются в одинаковом направлении как по переменной х, так и по переменной у.Для некоторой пары лиц констатируется совпадение, если их порядок как по переменной х, так и по переменной у одинаков. Для некоторой пары лиц констатируется инверсия, если их порядок по переменным х и у различен. КРК Кендалла обычно обозначается и вычисляется по формуле:= (P – Q) : ((n (n – 1)) :2), где P – общее количество совпадений; Q – общее количество инверсий