Площадь параллелограмма

Одну из параллельных сторон параллелограмма назовем основанием, а отрезок, опущенный из любой точки основания на противолежащую сторону – высотой параллелограмма.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Дано: параллелограмм – ABCD, основание AD=a, высота BK=h.

Доказать: S_ABCD = a• h

Доказательство. Если BK и CE – перпендикуляры к прямой АD, то ∆ABK=∆DCE (так как AB=DC и проекция AK=DE). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь параллелограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABK (равного ∆DCE) и трапеции KBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABK, получим площадь трапеции KBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника KBCЕ. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BK=h.

Итак: S ABCD = AD•BK=a•h.

Фигуры с равными площадями называются равновеликими. На данном рисунке параллелограмм АВСD и прямоугольник КВСЕ – равновеликие.

Билет№12.

Числа a₁, a₂, a₃, …, a_n называются пропорциональными числам b₁, b₂, b₃, …, b_n, если выполняется равенство: a₁/b₁ = а₂/b₂ = a₃/b₃ = … = a_n/b_n = k, где k – некоторое число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

Пример. Числа 6; 7,5 и 15 пропорциональны числам ‑4; 5 и 10. Коэффициентом пропорциональности является число ‑1,5, поскольку

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Пропорциональность чисел имеет место быть, если эти числа связаны пропорцией.

Известно, что пропорцию можно составить не менее чем из четырех чисел, поэтому понятие пропорциональности применимо как минимум к четырем числам (одна пара чисел пропорциональна другой паре, или одна тройка чисел пропорциональна другой тройке, и т.д.).

Рассмотрим на рис. 1 два треугольника АВС и А₁В₁С₁ с равными попарно углами: A = A₁, B = B₁, C = C₁.

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными. Так, нарис. 1 стороны AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, BC и B₁C₁, сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Дадим определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия.

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁.

Итак, на рис. 2 имеем: Δ ABC ~ Δ A₁B₁C₁

углы A = A₁, B = B₁, C = C₁ и AB/A₁B₁ = ВC/В₁C₁ = АС/А₁С₁ = k, где k – коэффициент подобия. Из рис. 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что Δ ABC ~ Δ B₁C₁A₁ некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «Δ ABC ~ Δ KNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.