Задача потребительского выбора или задача рационального поведения потребителя на рынке.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, то есть , где – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов, соответственно, а - доход индивидуума. Величины - заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

.

 

Замечание. Допустимое множество представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимально возможным уровнем полезности. Графически отыскание этой точки можно описать, как переход на линии все более высокого уровня полезности до тех пор, пока эти линии имеют общие точки с допустимым множеством.

Замечание.Будем считать, что в оптимальной точке условия выполняются автоматически, вытекая из определения функции . Как правило, это действительно так. Поэтому не будем включать условие в явном виде в постановку задачи, что существенно упростит ее с математической точки зрения.

 

Замечание.Рассмотрим бюджетное ограничение . Если на каком-то наборе ограничение выполняется в виде строгого неравенства , то можно увеличить потребление какого-либо из продуктов и, следовательно, увеличить функцию полезности. Отсюда ясно, что набор , максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство.

 

Исходя из сделанных выше замечаний, заменим задачу потребительского выбора на задачу на условный экстремум:

при условии

.

 

Если выполнены свойства 1.1.-3.1. функции полезности, то, как было показано выше, линии безразличия убывают и выпуклы вниз. Поэтому точка максимума является точкой касания линии безразличия функции полезности и бюджетной прямой.

Рис. 3.1.1.

Найдем координаты точки максимума, используя метод множителей Лагранжа.

Введем функция .

Запишем функцию Лагранжа

и исследуем ее на безусловный экстремум. Необходимые условия экстремума – равенство нулю частных производных по .

Найдем первые частные производные функции Лагранжа по и приравняем их к нулю:

Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными переменную , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

 

Решение этой системы есть «укороченная» критическая точка функции Лагранжа, и она же является оптимальным решением задачи потребительского выбора.

 

Подставив оптимальное решение в первое равенство системы, получим

,

то есть в точке локального рыночного равновесия отношение предельных полезностей продуктов равно отношению рыночных цен на эти продукты.

Отношение равно предельной норме замещения первого продукта вторым, поэтому в точке локального рыночного равновесия эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты.