Эластичность функции

Эластичность функции.

  Определение. Эластичностью функции y=f(x) называется предел отношения…  

Утверждение.

Действительно, из треугольника ACX следует, что . Так как производная функции y=f(x) в точке С равна , то , кроме того , и следовательно .… Замечание. В случае выпуклой возрастающей функции эластичность по абсолютной…  

Свойства эластичности.

  Действительно,

Эластичность некоторых функций.

1. Эластичность степенной функции () постоянна и равна показателю степени : В частности,

Применение эластичности в экономическом анализе.

1. Эластичность спроса по цене показывает относительное изменение (в %) величины спроса Q на благо при изменении цены p на 1% (чувствительность…

Замечание.

2. Эластичность спроса по цене тем выше, чем выше удельный вес расходов на данное благо в доходе потребителя. 3. Эластичность спроса по цене тем выше, чем ниже субъективная необходимость в… 4. Эластичность спроса по цене обычно тем выше, чем больше промежуток времени, в который может возникнуть замена…

Функция полезности.

Определение функции полезности.

Выбор потребителя характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель про каждые два набора можно сказать, либо один из них более… На множестве потребительских наборов (x1,x2) определена функция u(x1,x2),… Каждый потребитель, вообще говоря, имеет свою функцию полезности. Однако, для всех потребителей верно то, что если…

Свойства функции полезности.

Свойство 1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, то есть если , то , если , то .

Определение.

  Свойство 2. Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его…  

Пример.

Пусть функция полезности имеет следующий вид:

,где

Свойства 1.1. и 2.1. выполняются, свойство 3.1. не выполняется:

 

 

Замечание. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Если C₁<C₂<C₃, то

Рис. 2.2.1.

 

Задача потребительского выбора.

Задача потребительского выбора или задача рационального поведения потребителя на рынке.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, то есть , где – рыночные цены одной единицы… Формально задача потребительского выбора имеет вид:

Пример.

.

Перейдем к задаче на условный экстремум:

.

Введем функцию .

Функция Лагранжа имеет вид:

.

Найдем первые частные производные функции Лагранжа по и приравняем их к нулю:

Воспользовавшись формулой

, получим , .

Подставляя полученное выражение в бюджетное ограничение

, находим , ,

Итак, оптимальное решение , .

Замечание.Заметим, что задачу потребительского выбора можно решать и без использования метода множителей Лагранжа. Поскольку бюджетное ограничение является линейной функцией, можно выразить одну переменную через другую, подставить в функцию полезности, получить функцию полезности как функцию от одной переменной и далее искать ее экстремум.

Замечание.Решение сохраняется при любом монотонном, то есть сохраняющем порядок значений, преобразовании функции полезности. Поскольку значение было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таким же и после монотонного преобразования функции полезности. Таким монотонным преобразованием может быть, например, умножение функции на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы.

Замечание. Свойство 1. должно присутствовать у любой функции полезности, свойства 2. и 3. могут при монотонных преобразованиях теряться или приобретаться.

Замечание. Решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход умножаются на некоторое положительное число. Понятно, что при этом новое бюджетное неравенство эквивалентно исходному.

 

Общая модель задачи потребительского выбора.

Задача потребительского выбора имеет следующий вид: