1. Твердое тело имеет единственный вектор мгновенной угловой скорости, который может быть определен по движению любой связанной системы координат. Этот вектор задается формулой:
, где в качестве ортов могут быть взяты орты любой системы координат, жестко связанной с твердым телом.
В качестве производных по времени должны быть взяты условные производные в той системе отсчета, по отношению к которой определяется вектор мгновенной угловой скорости твердого тела (иначе говоря, по отношению к которой рассматривается движение твердого тела).
2. Проекции вектора твердого тела на оси связанной системы координат, как правило, обозначаются . Они зависят от выбора связанной системы. Однако сам вектор (его величина и направление в заданной системе отсчета) не зависит от выбора связанной системы.
3. Связь величин с элементами матрицы ориентации и их производными , , определяется соотношениями:
, в которых следует положить
, .
Отсюда делаем вывод, что — это свободный вектор. Он не зависит от координат полюса связанной системы, а лишь зависит от матрицы ориентации и от ее производной по времени.