Кинематика в вопросах и ответах

Кинематика в вопросах и ответах

Вопрос 1. Определения кинематики и механики.

Механика– это наука о движении материальных объектов и их взаимодействии между собой и окружающим миром при таком движении. Основой для создания и… Аксиомы, постулаты, определения. Аксиомами служат законы механических движений… Математические модели физических (материальных) объектов. В теоретической механике строятся теории механических…

Вопрос 2. Основные задачи кинематики.

Ответ.Основными задачами кинематики являются:

Разработка способов задания и описания механических движений материальных объектов.

Разработка способов вычисления кинематических характеристик движения (положения, скорости, ускорения материальных объектов)

Вопрос 3. Математические модели и основные (первичные) понятия теоретической механики.

Ответ.

Модели теоретической механики

 

 

модели материальных тел модель пространства модель времени

Основными понятиями теоретической механики являются: абсолютное пространство, абсолютное время, точка отсчета, система отсчета.

Вопрос 4. Абсолютное пространство.

Оно имеет три независимых линейных измерения, это независимые измерения в трех линейно независимых направлениях. Пространство не зависит от движения и изменения материи в нем… Изменение свойств движений материальных объектов во всех направлениях одинаковое («изотропность»).

Вопрос 5. Абсолютное время.

Ответ. Абсолютное время – это:

– непрерывно изменяющаяся величина;

– изменение ее происходит от «прошлого» к «будущему»;

– однородная величина (в том смысле, что она не зависит от движения и изменения материи и одинакова во всех точках пространства).

Единица времени – это 1 секунда (с).

Вопрос 6. Понятия «точки отсчета» и «системы отсчета». Математические модели материальных объектов.

Системой отсчетаназывается фиксированная декартова прямоугольная система координат (ДПСК) с началом в точке отсчета О. Систему отсчета будем обозначать Oijk или Oxyz, где О – точка отсчета, или… i, j, k – базис ДПСК (единичные взаимно-ортогональные векторы);

Вопрос 7. Понятия материальной точки, механической системы, неизменяемой (жесткой) системы и абсолютно твердого тела.

Любая совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных между собой по каким-либо правилам, называется механической системой, или… Неизменяемой (жесткой) механической системой называется такая механическая… Неизменяемая механическая система, состоящая из континуума материальных точек, называется абсолютно твердым телом (или…

Вопрос 9. Векторный способ задания движения точки.

Ответ.Для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:

1) выбрать точку отсчета (обозначим ее ),

2) задать вектор-функцию на том промежутке времени, где хотим знать о движении, причем вектор-функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по ,

3) задать положение точки в момент времени относительно точки отсчета равенством , где — радиус-вектор той геометрической точки абсолютного пространства, с которой в момент времени по своему положению совпадает материальная точка .

Такой способ называется векторным заданием движения точки.

. Эта формула –векторная форма определения движения точки при задании ее скорости как функции времени.

.Эта формула - векторная форма определения движения точки при задании ее ускорения как функции времени.

Вопрос 10. Координатный способ задания движения точки.

Ответ.Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета.

Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то она будет обозначаться или , где — базис, а — координаты точек в ней.

Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее или , где — базис, а — координаты точек.

Координатами вектора в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам:

, .

Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.

 

 

Если задать в каждый момент времени координаты точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , то будем иметь

 

, , . Тогдаполучим

.

 

Последнее соотношение позволяет определить положение точки в любой момент из промежутка времени, где заданы функции .Причем, поскольку они дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция будет также дважды непрерывно дифференцируема.

А это значит, что соотношения , , определяют движение материальной точки.

 

Аналогично, в аффинных координатах положение точки в любой момент времени может быть вычислено по формуле

.

Способ задания движения материальной точки по формуле:

, , ,

или

, ,

называется координатным.

При задании положения точки в декартовых координатах выражение для скорости имеет вид:

;при задании положения точки в аффинных координат , соответственно, будем иметь .

При задании движения в декартовых координатах для ускорения выполняются равенства:

 

;при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид .

 

Вопрос 11. Естественный способ задания движения точки.

Ответ.Пусть движение материальной точки описывается векторным способом , ,

 

где — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором рассматривается движение, , — множество вещественных чисел. Это соотношение в каждый момент времени задает в евклидовом пространстве положение геометрической точки, в котором находится в этот момент движущаяся материальная точка.Дополним пространство четвертым независимым измерением — временной осью .В таком четырехмерном пространстве уравнение при изменении координаты задает кривую, которая называется графиком движения.

Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех положений материальной точки, каждое из которых она занимает хотя бы в один момент времени, совершая движение , называется траекториейматериальной точки.

Аналитически траектория описывается равенством : , .

В отличие от графика движения траектория строится в трехмерном пространстве и является его проекцией на абсолютное пространство .

Годографомвектор-функции называется геометрическое место точек в абсолютном пространстве, образованное концами векторов , имеющих своим началом точку отсчета .

Если известна скорость материальной точки при всех , то для построения ее годографа:

· необходимо параллельным переносом совместить начало вектора скорости точки с точкой отсчета в каждый момент времени ;

· геометрическое место концов построенного таким образом множества векторов при всех будет являться годографом вектора скорости точки .

Аналогично строится годограф ускорения этой точки.

Суть естественного способа задания движения материальной точки такова: задается траектория и закон движения точки по этой траектории.

Математически этот способ задания движения описывается следующими действиями:

– задается регулярная кривая не ниже второй кратности (без особых точек) в естественной параметризации ;

– задается закон движения по этой кривой , где — дважды непрерывно дифференцируемая функция, зависящая от .

Вопрос 12. Вычисление скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения. Теорема Гюйгенса.

Ответ.По определению скорости материальной точки можем записать .

Здесь – движение точки , заданное векторным способом; – ее скорость в момент времени .

Согласно связи векторного способа с естественным имеем ,

где – естественная параметризация траектории движения, – закон движения по этой траектории.

Дифференцируя по , получаем , где — орт касательной к траектории в той ее точке, с которой совпадает положение материальной точки в момент времени .

Обратимся теперь к выводу формулы для вычисления ускорения материальной точки.

По определению ускорения имеем: .Заменяя в правой части на , и дифференцируя по , получим:

.

Воспользуемся формулой Френе, получим:

.

Теорема Гюйгенса.

Вектор мгновенного ускорения точки (ускорения в момент времени ) находится в соприкасающейся плоскости к траектории ее движения и равен векторной сумме касательного (тангенциального) ускорения

и нормального ускорения .

Вопрос 13. Кинематический способ определения радиуса кривизны кривой.

Ответ.Из формулы Гюйгенса: находим

.

Покажем, что .Действительно, , тогда .

Дифференцируя это равенство по , получим .

Возводим в квадрат иприходим к соотношению .

 

Таким образом, ,

.

Вопрос 14. Плоское движение точки.

Плоскость, в которой совершает свое движение точка, является соприкасающейся плоскостью ее траектории.    

Вопрос 15. Задание движения точки в полярных координатах.

Ответ.Полярная система координат задается следующим образом:

· фиксируем в плоскости движения точку отсчета и ось , проходящую через точку отсчета;

· задаем положительное направление отсчета расстояний от точки вдоль этой оси; это направление совпадает с направлением орта .

Пусть в некоторый момент времени материальная точка занимает на плоскости положение , где . Будем определять это положение расстоянием от точки до точки и углом , который образует вектор с полярной осью.

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.

Введем декартовую прямоугольную систему координат , в которой:

— точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;

— совпадает с полярной осью;

— ортогональна плоскости движения, и орт является ее базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости ; — дополняет систему до правой.

Тогда связь декартовых и полярных координат точки задается соотношением:

, , .

Здесь и .

Зависимость полярных координат и точки от ее декартовых координат и :

 

, .

Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :

, ,

Она имеет следующую аналитическую структуру:

Задать движение в полярных координатах — это значит задать закон изменения координат и по времени , в вектор-функции .

Вектор-функция устанавливает связь положения точки с ее полярными координатами и .

Эта связь в векторной форме имеет вид

.Введем орты и , вычисляемые через полярные координаты точки .Положим, по определению, ,

,где .

Векторы и называются базисом полярной системы координат.

—векторный способ задания движения через полярные координаты.

В ней .

Вопрос 16. Понятие криволинейных координат точки. Задание движения в криволинейных координатах.

Ответ.Криволинейными(обобщенными) координатами материальной точки будем называть три независимые величины , которые обладают следующими свойствами:

1. Для любых значений из некоторой области трехмерного пространства переменных определена однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция , такая, что ее векторное значение

задает положение материальной точки в абсолютном пространстве при .

2. Для любого положения материальной точки в абсолютном пространстве можно поставить в соответствие одно и только одно значение переменных .

3. При любых значениях из области смешанное произведение векторов не равно нулю, т.е.

.

Движением материальной точки в криволинейных координатах времени называем дважды непрерывно дифференцируемые функции , задающие криволинейные координаты точки в каждый момент времени .

Задать движение в криволинейных координатах — это значит:

— задать зависимость положения материальной точки от ее криволинейных координат

,

— задать закон изменения криволинейных координат материальной точки от времени на промежутке .

Вопрос 17. Геометрические характеристики криволинейных координат.

Зафиксируем одну из криволинейных координат. Например, положим . В полученном соотношении координаты , будем рассматривать как… Зафиксируем в значения двух криволинейных координат:

Вопрос 18. Основная система координат. Коэффициенты Ламе.

Введем следующую аффинную систему координат: · Начало ее совпадает с точкой . · Первая координатная ось совпадает с касательной в точке к первой координатной линии.

Вопрос 19. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.

Ответ.

Если взаимно ортогональные векторы, то основная система координат называется ортогональной.

Если основная система координат ортогональна при любых значениях из области , то криволинейные координаты называются ортогональными.

Утверждение. Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых из области выполняются условия

, , .

В скалярной форме эти условия имеют вид: ,

 

, , при .

К ним следует присоединить условие некомпланарности векторов :

,

причем:

– если тройка векторов правая, то

 

– если тройка векторов левая, то

.

Вопрос 20. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.

Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате . Дифференциал контравариантной координаты называется линейным… Утверждение.Линейное перемещение , линейные перемещения , и линейными перемещения по контравариантным…

Вопрос 21. Скорость точки в криволинейной системе координат. Связь скорости с обобщенными координатами.

Величина называется обобщенной скоростьюточки по координате в момент времени . Поскольку в векторной форме движение задается формулой ,то по определению скорости можем записать

Вопрос 22. Ускорение точки в криволинейных координата. Теорема Лагранжа.

Ответ.Величина называется обобщенным ускорением точки по координате в момент времени .

Теорема Лагранжа.

Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле

, .

Эта формуланазывается формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.

Оператор называется оператором Эйлера-Лагранжа. Через него формула Лагранжа записывается в следующей форме:

, где .

Вопрос 23. Задание движения точки в цилиндрических координатах.

Ответ.Положение точки задается переменными:

— расстояние от полюса до проекции точки на плоскость . Его значения удовлетворяют неравенству: .

— угол в плоскости , отсчитываемый от положительного направления оси до луча . Здесь — это проекция точки на плоскость .

Угол принимает значения из промежутка .Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки.

— проекция радиус-вектора точки на ось ; , где — проекция точки на ось .Переменная может принимать любые значения .

Связь декартовых прямоугольных координат точки с цилиндрическими задается следующими формулами:

 

Обратная зависимость от , т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид: , , .

Вопрос 24. Задание движения точки в сферических координатах.

Ответ.Положение точки задается криволинейными координатами , , , которые называются сферическими.

Координата — это расстояние от полюса декартовой прямоугольной системы координат до точки . Принимает значения .

Координата — это угол в плоскости между положительным направлением оси и проекцией вектора на плоскость .Принимает значения в диапазоне .

Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки относительно орта .

Координата — это угол между плоскостью и радиус-вектором точки .

Угол отсчитывается от плоскости до радиус-вектора . Изменяется в диапазоне .Угол положителен, если точка принадлежит положительному полупространству относительно плоскости ; угол отрицателен, если находится в отрицательном полупространстве относительно плоскости .

Связь декартовых прямоугольных координат точки со сферическими задается формулами:

, , .

Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет вид:

, , .

Угол не определен в том случае, когда точка находится на оси .Угол не определен в том случае, когда точка совпадает с точкой .

Вопрос 25. Понятие связи. Кинематический и динамический способы задания связей. Классификация связей.

Ответ.Ограничения, накладываемые на кинематические характеристики и (или) на движения точек механической системы, называются связями.

В механике приняты два способа описания связей.

Один способ — это описание связей с помощью задания сил взаимодействия или силовых полей.Такой способ называется динамическим.

Другой способ — это описание (или иначе, — задание) связей с помощью математических соотношений в виде равенств или неравенств. Такой способ называется кинематическим.

1) Причина, по которой возникает ускорение материальной точки, называется силой, действующей на эту материальной точку (или иначе, силой, приложенной к данной точке).

Пусть заданы две материальные точки и .Если причиной возникновения ускорения материальной точки является присутствие в пространстве точки , то эта причина (сила) называется силой действия(воздействия) точки на точку .Если при этом точка является причиной возникновения ускорения точки , то это значит, что присутствуют две силы: сила действия точки на точку и сила действия точки на точку . В таком случае любая из этих двух сил называется силой взаимодействия точек и .

Динамический способ состоит в описании сил взаимодействия, возникающих между точками, входящими и (или) не входящими в состав механической системы.

2) При таком способе описания связей ограничения на движения и кинематические характеристики материальных объектов задаются математическими соотношениями, записанными в виде равенств и (или) неравенств.Математическое соотношение, описывающее связь кинематическим способом, называется математической моделью связи.Таким образом, математическая модель связи при кинематическом способе задания в общем случае может иметь вид:

 

или

.

При кинематическом способе описания связей принята следующая их классификация в зависимости от вида математических моделей:

1) связи удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) — таковыми являются связи, математические модели которых представимы в виде равенств:

, .

2) связи неудерживающие (односторонние, освобождающие) — это связи, математические модели которых представимы неравенствами:

, .

3) геометрическая (голономная, конечная) связь — связь, имеющая математическую модель следующего вида: .В ней отсутствуют скорости и ускорения всех точек.

 

4) дифференциальные связи;

5) стационарные (склерономные) голономные связи: ;

6) нестационарные (реаномные) голономные связи: ;

7) внутренняя связь.Внутренней называется связь, в математической модели которой участвуют кинематические характеристики только тех материальных точек, которые входят в состав механической системы. Такая связь накладывает ограничения на взаимные расположения, и, быть может, на относительные скорости и ускорения этих точек при их движении друг относительно друга.

8) внешняя связь.Внешней называется связь, которая накладывает ограничения на кинематические характеристики точек механической системы относительно точек, которые не входят в ее состав. Иначе говоря, внешняя связь накладывает ограничения на абсолютные положения, абсолютные скорости и абсолютные ускорения точек системы.

Вопрос 26. Понятие линейных стационарных дифференциальных связей. Понятие кинематических связей.

, . Линейная дифференциальная связь с номером называется стационарной… Линейная дифференциальная связь с номером называется интегрируемой, если существует решение уравнения с номером …

Вопрос 27. Обобщенные координаты голономной системы. Теорема существования.

1. Существуют такие переменные и функции , , что любое положение механической системы в любой момент времени из… , .

Теорема существования обобщенных координат.

В любой момент времени любое положение механической системы в области , где определены уравнения геометрических связей, может быть задано с помощью независимых координат , удовлетворяющих условиям 1 – 6.

Вголономных системах число степеней свободы движения совпадает с числом степеней свободы положения .

 

Вопрос 28. Обобщенные координаты и число степеней свободы движения неголономной системы.

Ответ. Обобщенными координатаминеголономной механической системы называются обобщенные координаты голономной системы, которая строится из неголономной системы исключением кинематических связей из состава действующих связей.

Число называется числом степеней свободы движениянеголономной механической системы.

Число задает количество независимых компонент скоростей точек, входящих в состав неголономной механической системы.

Вопрос 29. Связь скорости и ускорения точек механической системы с обобщенными скоростями и ускорениями.

Производная по времени от обобщенной координаты на движении , , механической системы называется обобщенной скоростью по обобщенной… Вторая производная по называется обобщенным ускорением механической… Зависимость скорости и ускорения точек механической системы с обобщенными скоростями и ускорениями:

Вопрос 30. Основные кинематические соотношения при дифференцировании по обобщенным координатам и скоростям (Лемма Лагранжа).

Ответ. Лемма Лагранжа.

На любых движениях механической системы справедливы следующие соотношения:

, , ,

, , .

Выражение обозначает полную производную по времени от вектор-функции вдоль движения механической системы.

Эти равенства называются основными кинематическими соотношениями Лагранжа при дифференцировании функций .

 

Вопрос 31. Векторный, координатный и векторно-матричный способы задания движения твердого тела.

Ответ.1) Векторный способ.

Движением твердого тела на промежутке времени будем называть совокупность вектор-функций, состоящую из движений на этом промежутке всех его точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение называется векторнымспособом задания движения твердого тела.

2) Координатныйспособ.

,

,

.

3) Векторно-матричныйспособ.

, где , а

.

Вопрос 32. Матрица ориентации твердого тела, ее геометрический смысл и основные свойства.

Матрица называется матрицей ориентации твердого тела в абсолютном пространстве. Свойства матрицы ориентации твердого тела в абсолютном пространстве. 1. Твердое тело имеет бесчисленное множество матриц ориентации.

Вопрос 33. Теорема Эйлера. Углы Эйлера. Построение матрицы ориентации твердого тела через углы Эйлера. Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации.

Ответ. Теорема Эйлера.

2. Все элементы матрицы ориентации определяются через эти угловые параметры однозначно.  

.

Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации.

Из третьего столбца матрицы находим

, , .

Из третьей строки матрицы получим

, .

Эти соотношения справедливы только в том случае, когда , т.е. при и .

 

При и матрица , соответственно, принимает вид:

; .

 

Из данных выражений матрицы можно вычислить по первому столбцу при только угол и угол при .

Вопрос 34. Построение матрицы перехода через матрицы элементарных поворотов.

Существует три независимых элементарных поворота. 1. Поворот вокруг 1-ой оси (оси ) на угол .  

Вопрос 35. Число степеней свободы свободного твердого тела.

1. Пусть тело состоит из точек, лежащих на одной прямой. Для того, чтобы можно было определить положение любой точки твердого тела,… — три координаты точки ;

Вопрос 36. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона. Существование и единственность решения.

, , . Эту систему уравнений будем называть уравнениями типа Эйлера-Пуассона. В… а) — заданная правая ортонормированная тройка векторов, так что

Вопрос 37. Вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат. Его связь с элементами матрицы перехода.

Вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат является единственным решением уравнений: . Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь мгновенной угловой скорости с базисными вектор…

Вопрос 38. Формулы Эйлера-Пуассона для скорости изменения направлений ортов подвижной системы координат.

Ответ.Формулы Эйлера-Пуассона для скорости изменения направлений ортов подвижной системы координат имеют вид:

 

.

Вопрос 39. Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела.

Ответ. Вектором мгновенной угловой скорости твердого тела по отношению к заданной системе отсчета называется вектор мгновенной угловой скорости системы координат, жестко связанной с твердым телом.

Замечания.

, где в качестве ортов могут быть взяты орты любой системы координат, жестко связанной с твердым телом. В качестве производных по времени должны быть взяты условные производные … 2. Проекции вектора твердого тела на оси связанной системы координат, как правило, обозначаются . Они зависят от…

Вопрос 40. Распределение скоростей в твердом теле (формула Эйлера).

Ответ. Формула Эйлерадля скоростей точек твердого тела имеет вид:

, где — скорость полюса связанной системы.

Вопрос 41. Классификация движений твердого тела.

1. Ответ. Если и в некоторый момент времени , то такое движение называется «мгновенным покоем твердого тела».

2. Если и в некоторый момент времени , то движение называется «мгновенным поступательным движением твердого тела».

3. Если и в некоторый момент времени , то такое движение называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной точки».

4. Если существуют две точки твердого тела, скорости которых равны нулю в некоторый момент времени , и при этом , то движение твердого тела называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной оси».

Вопрос 42. Следствия из формулы Эйлера.

Ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие 1.

В любой момент времени справедливо равенство:

 

, т.е. .

 

Иначе говоря, в любой момент времени совпадают проекции скоростей двух точек твердого тела на ориентированную прямую, соединяющую эти две точки.

Следствие 2.

Если скорости и двух точек и твердого тела коллинеарны в момент времени , причем в том случае, когда они сонаправлены — величины этих скоростей не равны между собой, то и в этот момент ортогональны прямой, соединяющей точки и .

 

Следствие 3.

В произвольный момент времени скорость любой точки твердого тела однозначно может быть вычислена по известным в этот момент скоростям и положениям трех его точек, не лежащих на одной прямой.

 

Следствие 4.

Если в момент времени , то скорости всех точек одинаковы. Иначе говоря, в состоянии мгновенного покоя и мгновенного поступательного движения скорости всех точек одинаковы.

 

Следствие 5.

Если в момент времени скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, равны по величине и направлению, то тело совершает мгновенное поступательное движение или находится в мгновенном покое.

 

 

Следствие 6.

Если в момент времени скорости двух точек и твердого тела равны нулю, то:

 

1) все точки прямой, проходящей через них, имеют скорость, равную нулю;

 

2) вектор мгновенной угловой скорости твердого тела коллинеарен этой прямой или равен нулю;

 

3) тело совершает мгновенное вращение вокруг неподвижной оси или находится в мгновенном покое.

 

Вопрос 43. Распределение ускорений в твердом теле (формула Ривальса).

Ответ.

Формула Ривальса имеет вид:

 

.

Здесь:

— ускорение полюса связанной системы координат;

 

— вращательное ускорение точки твердого тела при ее вращении вокруг полюса связанной
системы координат;

 

— осестремительное ускорение точки твердого тела.

 

Вопрос 44. Поступательное движение твердого тела.

Ответ.

Поступательным движением твердого телана промежутке времени называется такое его движение, при котором выполняется тождество при .

Основные свойства поступательного движения твердого тела.

1. Скорости всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и совпадают со скоростью полюса связанной системы.

2. Ускорения всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и совпадают с ускорением полюса связанной системы.

3. Любая матрица ориентации твердого тела остается постоянной во все время движения.

 

Свойства перемещений точек твердого тела при поступательном движении.

  Вектор называется перемещением точки относительно точки в момент…  

Выводы.

1.Отрезок , соединяющий две точки твердого тела, перемещается параллельно самому себе, ибо

, .

2. При поступательном движении твердого тела положение любых его точек в любой момент можно вычислить через положение какой-либо одной точки тела, известное в момент , и положение тела относительно точки , заданное в какой-либо фиксированный момент времени .

Вопрос 45. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Ответ.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси на промежутке времени называется такое движение, при котором две точки тела имеют скорость, равную нулю при всех , а вектор 0 при .

Прямая, проходящая через указанные две точки, называется осью вращения твердого тела.

Свойства.

1. Все точки, лежащие на оси вращения, имеют скорость, равную нулю.

2. Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела коллинеарен оси вращения.

Теорема.

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то существует такая система отсчета и связанная система , что матрица ориентации будет иметь вид:

 

.

При этом вектор мгновенной угловой скорости твердого тела связан со скоростью изменения угла соотношением

, где и — орты осей и , соответственно.

Следствие.

Вектор углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси коллинеарен оси вращения и задается формулой

.

Вопрос 46. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Ответ.Если твердое тело имеет одну точку, неподвижную при всех , и не имеет ни одной другой точки с этим свойством, то такая группа движений называется вращением твердого тела вокруг неподвижной точки.

Такое движение по-другому называется сферическим движением твердого тела.

Теорема.

Каждая такая прямая является геометрическим местом тех положений в абсолютном пространстве точек твердого тела, в которых они (точки ) имеют… Прямая, проходящая через точку , все точки которой в фиксированный…

Теорема (Эйлера-Даламбера).

При сферическом движении произвольное положение твердого тела, заданное в момент , можно получить из заданного в момент начального положения одним поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку , на некоторый угол .

Вопрос 47. Плоское движение твердого тела. Плоская фигура. Связь ее движений с движениями твердого тела.

Ответ.

Движение твердого тела называется плоским, если существует орт , неподвижный в абсолютном пространстве, такой, что на этом движении для любой точки твердого тела при всех выполняется тождество

, где — некоторая постоянная.

— это вектор-функция, которой задается движение точки относительно точки отсчета на промежутке времени .

1. Каждая точка твердого тела движется в одной и той же плоскости, причем плоскости движения всех точек параллельны.

2. Скорость и ускорение этой точки находятся в той же плоскости.

3. Расстояние от полюса абсолютной системы до этой плоскости остается постоянным и равно модулю величины , ибо , где — угол между вектором и ортом .

 

Представим вектор в виде суммы .

Здесь — точка, являющаяся ортогональной проекцией точки на плоскость .

Пусть — любая другая точка твердого тела, не совпадающая с точкой , и — положение точки в момент времени . Обозначим ортогональную проекцию точки на плоскость , а — положение точки .

 

, где — постоянная, определяющая плоскость, в которой движется точка .

1. На любом плоском движении твердого тела расстояние между точками и остается постоянным при всех .

2. Если точки и в какой-либо момент времени находятся на прямой, параллельной орту , то и при всех они будут находиться на прямой, параллельной орту .

Иначе говоря, если положения точек и в некоторый момент времени совпадают, то и для всех при плоском движении твердого тела их положения будут совпадать.

3. Если точки и твердого тела в некоторый момент времени находятся на одной прямой, параллельной орту , то:

1) перемещение точки за время совпадает с перемещением точки за это же время и равно

 

;

2) скорости точек и совпадают по величине и направлению со скоростью точки ;

3) ускорения точек и совпадают с ускорением точки .

 

Геометрическое место точек, образованное ортогональными проекциями всех точек твердого тела в некоторый момент времени на плоскость , ортогональную и проходящую через заданную точку отсчета , называется плоской фигурой твердого тела.

 

Точку плоской фигуры, полученную проектированием точки твердого тела на плоскость , будем называть образомточки .

 

Выводы.

– движение и кинематические характеристики любой точки твердого тела однозначно определяются через движение и кинематические характеристики той точки плоской фигуры, которая является образом точки ;

– движение плоской фигуры можно рассматривать как движение жесткой механической системы, которая является плоским твердым телом, или как движение точки.

Вопрос 48. Распределение скоростей и ускорений при плоском движении твердого тела.

Ответ.

Распределение скоростей и ускорений точек плоской фигуры определим из формул Эйлера и Ривальса с учетом соотношения:

.

В результате получим

,

,

причем, в этих соотношениях имеют место тождества

, , .

Здесь .

Вопрос 49. Мгновенный центр скоростей. Теорема существования. Подвижная и неподвижная центроиды.

Ответ.

Точка плоскости плоской фигуры, которая в момент времени имеет скорость, равную нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Теорема.

1) в плоскости плоской фигуры существует единственная точка , скорость которой в заданный момент времени равна нулю;   2) все другие точки плоской фигуры имеют такие скорости, какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг…

.

Уравнения неподвижной центроиды, записанные в параметрической форме: ,

.

Теорема (Пуансо).

Подвижная и неподвижная центроиды в любой момент времени касаются друг друга в точке, совпадающей в этот момент времени с мгновенным центром скоростей.

Подвижная центроида при изменении катится по неподвижной центроиде без проскальзывания.

 

Вопрос 50. Определение мгновенного центра скоростей по скоростям, заданным в одной и в двух точках.

Ответ.

Построение МЦС по скорости одной точки и по угловой скорости .

Можем записать , где . Отсюда следует:

Построение МЦС по скоростям, заданным в двух точках.

Пусть заданы точка и ее скорость , а также точка и ее скорость . Надо построить (геометрически) точку (МЦС).

Можем записать:

.

 

Из этих соотношений вытекает:

1) ,

2) вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору .

 

Рассмотрим три ситуации.

Случай сонаправленных скоростей и .

В противном случае будем иметь , т.е. плоская фигура совершает поступательное движение. В данной ситуации прямая должна быть ортогональна скоростям и . А…  

Случай противоположно направленных скоростей и .

    заключаем:

Случай неколлинеарных скоростей и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда точка должна находиться на прямых, ортогональных скоростям и .

Если через точку и точку проведем прямые, ортогональные и , то их пересечение даст единственную точку . Очевидно, построенная таким образом точка совпадает с МЦС.

 

Вопрос 51. Мгновенный центр ускорений. Теорема существования.

Ответ.

Точка плоскости плоской фигуры, имеющая ускорение, равное нулю в момент времени , называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Теорема.

Если в некоторый момент времени справедливы соотношения и , то в этот момент времени существует единственная точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.

Вопрос 52. Постановка задачи о сложном движении материальной точки. Основные понятия.

Ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем говорить, что система координат является подвижной системой координат в абсолютном пространстве , если и (или) ее полюс совершает движение в абсолютном пространстве, и (или) базис изменяет свою ориентацию с течением времени.

Чтобы задать движение системы , необходимо задать вектор-функцию и ортогональную матрицу , по которым в каждый момент времени должны вычисляться положение полюса и матрица ориентации системы :

 

.

Будем называть подвижным пространством, связанным с системой отсчета , множество точек , которые в этой системе отсчета сохраняют значения своих координат неизменными с течением времени .

Движение точки по отношению к абсолютной системе координат называется абсолютным движением.

Абсолютное движение точки задается вектор-функцией и соотношением:

 

.

Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением.

Переносным движением пространства будем называть абсолютное движение всех точек подвижного пространства, связанного с системой отсчета , совершающей движение в абсолютном пространстве с системой отсчета .

Переносным движением точки называется абсолютное движение точки фиктивного твердого тела, с которой по своему положению в момент времени совпадает точка .

Абсолютное движение точки , задаваемое ее переносным и относительным движением, называется сложным движениемэтой точки.

Основная задача кинематики сложного движения:

– установить связь между абсолютным движением точки и ее движениями переносным и относительным;

– установить связь между кинематическими характеристиками указанных движений точки.

Движения переносное и относительное называются составляющими сложного движения материальной точки.

Теорема.

Абсолютное движение точки является суперпозицией её переносного движения и относительного движения .

 

Вопрос 53. Кинематические характеристики сложного движения материальной точки.

Ответ.

Абсолютной скоростью точки называется вектор

.

Абсолютным ускорением точки называется вектор

.

Относительной скоростью точки называется вектор

.

Относительным ускорением точки называется вектор

 

.

Оператор обозначает относительную производную вектора, заданного своими координатами в подвижных осях (производная вектора, заданного проекциями на подвижные оси).

Переносной скоростью и переносным ускорением точки в момент времени называются абсолютные скорость и ускорение точки фиктивного твердого тела, положение которой в этот момент совпадает с положением точки .

Переносной мгновенной угловой скоростью и переносным мгновенным угловым ускорением называются мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение подвижной системы координат относительно абсолютного пространства.

 

.

Вектор является решением уравнений Эйлера

 

, в которых вектора , вычисляются на заданном движении базиса системы в фиксированный момент времени .

Вектор мгновенного углового ускорения переносного движения связан с зависимостью

.

Формула для переносной скорости:

.

Формула для переносного ускорения:

 

.

Вопрос 54. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки.

Ответ.

Теорема (о сложении скоростей).

Абсолютная скорость точки в сложном движении равна сумме переносной скорости точки и ее относительной скорости, т.е. справедливо равенство

.

Вопрос 55. Теорема о сложении ускорений в сложном движении точки (теорема Кориолиса).

Ответ.

Теорема Кориолиса (о сложении ускорений).

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений, где .

Вопрос 56. Постановка задачи о сложном движении твердого тела.

Ответ.

Будем говорить, что тело совершает сложное движение, если оно движется в пространстве, которое, в свою очередь, движется, т.е. является подвижным пространством.

Движение твердого тела относительно подвижного пространства и движение подвижного пространства относительно абсолютного называются составляющими сложного движения твердого тела.

Основными задачами кинематики сложного движения является

1) задача установления связи между абсолютным движением твердого тела и составляющими движениями,

2) задача установления связи между кинематическими характеристиками составляющих движений и абсолютного движения твердого тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– — абсолютная система координат с полюсом в точке и базисом ;

– — подвижная система координат с полюсом в точке и базисом ;

– — связанная с твердым телом система координат с полюсом в точке и базисом ;

 

– — матрица ориентации подвижной системы в абсолютном пространстве, , ;

 

– — матрица ориентации твердого тела в подвижном пространстве , , .

– — положение полюса подвижной системы относительно точки отсчета , выбранной в абсолютном пространстве; оно задается абсолютными координатами ;

– — положение полюса связанной с твердым телом системы координат относительно точки отсчета ; задается абсолютными координатами ;

– — положение полюса связанной системы относительно полюса подвижной системы ; задается координатами в подвижной системе ;

– — положение точки твердого тела в связанной системе ; задается координатами ;

– — положение точки твердого тела в подвижном пространстве ; задается координатами ;

– — положение точки твердого тела относительно точки отсчета в абсолютном пространстве; задается абсолютными координатами .

Формула связи абсолютного движения с составляющими движениями твердого тела в его сложном движении имеет вид:

.

Вопрос 57. Скорости точек твердого тела в сложном движении. Теорема о сложении угловых скоростей.

Ответ.

Переносной мгновенной угловой скоростью и переносным мгновенным угловым ускорением твердого тела в его сложном движении называются соответственно вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения подвижной системы координат относительно абсолютного пространства.

 

, .

Вектором мгновенной угловой скорости и вектором мгновенного углового ускоренияотносительного движения твердого тела называются, соответственно, вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения твердого тела при его движении относительно подвижной системы координат , условно принимаемой неподвижной.

, .

Теорема.

Абсолютная скорость любой точки твердого тела равна сумме абсолютной скорости полюса связанной с телом системы координат и векторного произведения суммы мгновенных угловых скоростей составляющих движений на радиус-вектор точки относительно полюса .

Теорема.

Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства в сложном движении равен векторной сумме мгновенных угловых скоростей , , составляющих движений:

. Если твердое тело участвует в составляющих движениях, то .

Вопрос 58. Кинематические уравнения Эйлера.

Ответ.

Векторное кинематическое уравнение Эйлера.

В нем: 1) орт — направляющий вектор оси абсолютной системы координат; 2) орт — направляющий вектор оси подвижной системы координат, связанной с твердым телом;

Вопрос 59. Кинематические уравнения Пуассона.

Ответ.

Уравнения Пуассона:

 

Здесь — орт, неподвижный в абсолютном пространстве, а — его проекции на подвижные оси, в качестве которых берем оси связанной с твердым телом системы координат, т.е.

.