Ответ.Зафиксируем точку с криволинейными координатами .
Введем следующую аффинную систему координат:
· Начало ее совпадает с точкой .
· Первая координатная ось совпадает с касательной в точке к первой координатной линии.
· Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке ко второй координатной линии.
· Третья координатная ось совпадает с касательной в точке к третьей координатной линии.
Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по . Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно и для функции относительно . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют. Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам
Выполняется условие:
, поэтому векторы , , в точке будут некомпланарными. Обозначим орты этих векторов , . Тогда можем записать: , , где
.
Величина называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате .
Тройка единичных векторов является линейно независимой, поэтому можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке . Будем обозначать такую систему .
Аффинную систему координат с базисом будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам , а координаты произвольной точки в этой системе — контравариантными координатами точки .
Из определения 1 (криволинейных координат), формулы (1.5.5) и определения 4 (основной системы) следует, что:
основная система координат существует в любой в точке .
Положение ее полюса относительно точки отсчета в абсолютном пространстве и базис однозначно определяются по формулам (1.5.1) и (1.5.5):
, (1.5.1)
, , (1.5.5)
при любых фиксированных значениях криволинейных координат из области .