Тема: Плоскость в пространстве

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , не лежащие на одной прямой, имеет вид .

2. Плоскости, заданные общими уравнениями и перпендикулярны при условии, что .

3. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .

 

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .

 

5. Общее уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: .

6. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:
,
где , , – направляющие косинусы нормали плоскости, направленной из начала координат в сторону плоскости; – расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак которого берется противоположным знаку свободного члена .

7. Угол, образованный двумя плоскостями и , определяется из соотношения .

Нормальное уравнение плоскости имеет вид …

 

Тема: Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .
Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда
или .

 

 

Тема: Плоскость в пространстве
Плоскость проходит через точку и отсекает на осях абсцисс и ординат в положительных направлениях отрезки длины 3 и 5 соответственно. Тогда общее уравнение плоскости имеет вид …

Решение:
Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид , где – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях , и соответственно. Подставим в это уравнение значения , и координаты точки : .
Тогда и общее уравнение плоскости примет вид .

 

Тема: Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .
Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда
или .

Тема: Плоскость в пространстве
Угол между плоскостями и равен …

 

Решение:
Угол, образованный двумя плоскостями и , определяется из соотношения . Тогда , или .

Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора , получим: или .

Тема: Плоскость в пространстве
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости , имеет вид …

Тема: Плоскость в пространстве
Плоскость, проходящая через точки и параллельно оси , задается уравнением …

 

Решение:
Общее уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: . Точки и лежат в искомой плоскости, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению : , отсюда , . Подставим найденные значения в уравнение плоскости: или , то есть .

 

Тема: Прямая на плоскости
Площадь треугольника, образованного пересечением прямой с осями координат, равна …

 

Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , не лежащие на одной прямой, имеет вид .
Подставим числовые значения в полученное уравнение: , или .
Раскрывая определитель по первой строке, получим ,
то есть .