Дифференциальные уравнения движения ЛА.Математическая модель движения самолета представляет собой упрощенное описание его реального движения. При выводе уравнений движения будем полагать, что самолет является твердым телом.
Дифференциальные уравнения движения ЛА в векторной форме имеют вид
;
, (4.1)
где – масса ЛА; – вектор угловой скорости вращения ЛА относительно Земли; – вектор скорости центра масс; – вектор внешних сил; – главный момент всех внешних сил; – кинетический момент системы.
Движение самолета как твердого тела в пространстве описывается двенадцатью нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка, из них: три уравнения сил, три уравнения моментов, три кинематических соотношения для углов Эйлера, три кинематических соотношения для линейных координат:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
, (4.2)
где , , – проекции вектора скорости центра масс ЛА на оси выбранной системы координат; , , – проекции на оси выбранной системы координат вектора угловой скорости этой системы относительно Земли; , , – проекции равнодействующей всех внешних сил, действующих на ЛА; , , – проекции момента всех внешних сил относительно соответствующих осей; , , , – осевые и центробежный моменты инерции; , , – проекции перемещения ЛА относительно нормальной земной системы координат; , и т.д. – направляющие косинусы. В уравнениях сделаны следующие допущения: кривизна Земли не учитывается, гироскопический момент двигателей мал, масса самолета постоянна.
Система уравнений (4.2) является сложной системой, правые части уравнений которой представляют собой нелинейные функции многих переменных. С целью упрощения математической модели движения самолета как объекта управления пространственное движение ЛА разбивается на продольное и боковое. Продольным называется движение, характеризуемое вращением вокруг поперечной оси и поступательным движением в направлении осей и . Боковое движение составляют вращения вокруг осей и и перемещение в направлении оси .
Продольное и боковое движения оказываются взаимосвязанными, определяются наличием инерционных аэродинамических и гироскопических связей. Уравнения движения ЛА линеаризуют, пользуясь разделением движения по отдельным каналам. Разделение общего движения ЛА на продольное и боковое возможно, если связи между этими движениями пренебрежительно малы.