Определение 1.

Пусть выполнено:

1), -внутренняя точка

2)

3)

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 2:(непрерывность на языке )

1)Пусть . =. - внутренняя точка множества(точка сгущения)

.Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 3: (непрерывность на языке последовательностей)

1) Пусть точка - точка сгущения множества .

2) Пусть выполнено .

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 4: (непрерывность на языке приращений)

Пусть , - внутренняя точка множества, ,. Тогда функция называется непрерывной в точке

 

Замечание: . Фиксируем все переменные, например , …, . Тогда получим функцию одной переменной . Если окажется, что построенная функция одной переменной в точке непрерывна, то говорят, что непрерывна по переменной в точках . Может оказаться, что непрерывна в точках по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной по совокупности переменных.

 

Пример:

, ,

Но не является непрерывной по совокупности переменных .

 

БИЛЕТ 3.Частные производные ФМП. Определение, геометрический смысл.

Пусть , , - внутренняя точка

Фиксируем все переменные, кроме : .

Придадим приращение , достаточно малое, чтобы не покинуть ,

. – частичное (частное) приращение.

Определение: Пусть , тогда этот предел называется частной производной функции в точке по переменной .

Обозначение:,

Замечание:, ,

Пример:

Функция не является непрерывной в точке , тем не менее обе частные производные в точке . Может быть и наоборот: функция является непрерывной в точке , а обе частные производные нев точке .

Пример:

нечастных производных в точке , но функция является непрерывной в точке

 

Геометрический смысл частной производной:

,

,-касательная к кривой

 

БИЛЕТ 4.Дифференцируемые ФМП. Два определения дифференцируемости. Свойства дифференцируемых функций: существование частных производных и непрерывность.

Пусть , - внутренняя точка. Фиксируем , достаточно малые, чтобы новая точка осталась внутри . Полное приращение функции в точке : .

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке представимо в виде: , (х)

Где -некоторые числа, независящие от

- бесконечно малые при

Утверждение: равенство (х) можно записать в эквивалентном виде (хх):

(хх), где .

То есть (х)(хх)

Утверждение: Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в точке частные производные по всем переменным и они равны :

,…,.

 

Доказательство:

.

Пусть , =0

, . Пусть и предел правой части:

, так как . Тогда и предел левой части:

Следствие:Для дифференцируемой функции можно записать .

Утверждение: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

, , непрерывна в этой точке.

 

БИЛЕТ 5. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФМП. Полный дифференциал, частичные дифференциалы. Использование первого дифференциала в приближенных вычислениях.

 

 

Теорема (о достаточных условиях дифференцируемости):

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки

2) В самой точке - непрерывны.

Тогда: дифференцируема в точке .

Доказательство:

Пусть (если же , то доказательство аналогично).

,)-=,)-=

{в [ ]- разность значений функций одной переменной, в некоторой точке можно использовать формулу Лагранжа}

={}= {- непрерывны в точке }=

(- бесконечно малые при ) дифференцируема по определению.

 

Определение: Пусть функция дифференцируема в точке .

= .

Главная линейная относительно часть приращения функции называется полным первым дифференциалом функции .

Величиныназываются частичными дифференциалами

 

Приближенные вычисления:

Пусть функция дифференцируема. .

Пример:

==

Ответ:

 

 

БИЛЕТ 6. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть -сложная функция от переменной .

Теорема: Пусть , дифференцируемы в точке (,, внешняя функция дифференцируема в точке , где ,. Тогда сложная функция дифференцируема в точке , более того

; , где производные всех функций берутся в соответственных точках.

 

Доказательство:. Фиксируем , . Тогда получают точки приращения , , и изменяется значение функции .

{так какдифференцируема в точке} = =

{так как , дифференцируемы в точке (,} =

++

, где

(так как -дифференцируемая ф-янепрерывная).

дифференцируема в точке , причем ее производные по , вычисляются по формулам:

; .

 

Замечание: . ;

Теорема (об инвариантности формы первого дифференциала):

;

.

+

+=+форма первого дифференциала не зависит от того, являются ли переменные в свою очередь функциями или нет.

 

Следствие:Пусть -функции. Тогда:

 

БИЛЕТ 7.Производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Пусть , также вычислена - тоже функция от переменных .

Возьмем от производную по переменной :=

Таким образом, можно определить производные и 3-го порядка.

Замечание: - несмешанная производная 4-го порядка. Если же среди переменных, по которым берутся производные, есть хотя бы 2 различные, то такая производная называется смешанной.

 

Пример: . - несмешанные производные. - смешанные производные.

 

 

Теорема(о равенстве смешанных производных):

Есть функция

Пусть:

1) в некоторой окрестности точки частные производные .

2) непрерывны в точке

Тогда в точке .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательное выражение:

. Здесь -достаточно малые чтобы оставаться в пределах окрестности из пункта 1).

 

Вспомогательная функция:

(х)

Очевидно, ==. Но непрерывна в точке . Пусть . Тогда . Рассмотрим еще раз

=, где

. Аналогично получаем, что при .

Следовательно, .

Следствие:

. Пусть и непрерывны все частные производные до -го порядка включительно в области . Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

 

БИЛЕТ 8.Дифференциалы порядков выше первого. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.

. . В правой части стоит функция от переменных . - некоторые фиксированные постоянные. Возьмем дифференциал от левой и правой частей.

.

Формальная запись:

. Аналогично,

Вообще:

Пусть

.